DP查缺补漏之\(LIS\)状态记录

前置知识

状态假设

\(F[i]\)为以\(a[i]\)为结尾的最长上升子序列长度。

状态转移

\(F[i] = max(F[j] + 1, F[i]) (j < i)\)

很好理解，即\(i\)之前的所有以\(a[j]\)结尾的最长上升子序列中取最大，再加上\(a[i]\)即加一。

代码实现

for (int i = 1; i <= n; i++) F[i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	for (int j = 1; j < i; j++)
    {
		if (a[j] < a[i])
        {
            F[i] = max(F[i], F[j] + 1);
        }
    }
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	ans = max(ans, F[i]);
}

状态记录

基本思路

再开一个数组维护每个最长上升子序列，利用状态转移的思想记录最优解。

代码实现

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	for (int j = 1; j < i; j++)
    {
		if (a[j] < a[i] && F[i] < F[j] + 1)
        {
            F[i] = F[j] + 1;
            tag[i] = j;
        }
    }
}

int p = 1;

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	if (F[p] < F[i])
    {
		p = i;
    }
}

for (int i = 0; i < F[p]; i++)
{
    cout << a[p];
    p = tag[p];
}