2023NOIP A层联测26 T4 abstract

乱证明求性质的光速幂优化题。

思路

对于每一个节点，到该节点的子树内的叶子节点的路径中（包括路径上的点），出现的值只有 \(k\times(\log V+\log V)\) 个。

那么在以该点为终点，以子树内节点为起点的路径中，取值只有 \(k\times(\log V+\log V)\)。

这是因为，如果以某个非叶节点为起点到该点的路径中，取值严格包含在：到该节点的子树内的叶子节点的路径中出现的值。

我们可以叶子开始向父亲传值，如果父亲有多个枝丫，那么将枝丫的结果合并，由于这样的枝丫不超过 \(k\) 个，此处为 \(O(k^2\log^2 V)\)。

那么最终时间复杂度为 \(O(k^2\log^2 V \log A+nk\log V \log A)\)。

此处 \(\log A\) 为快速幂时间复杂度。

为了消去这个 \(\log A\)，可以使用光速幂，\(O(1)\) 查询。

不过快速幂可以卡过（乐：D

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define F first
#define S second
#define ll long long

const ll mod=111121,MOD=998244353;
const int maxn=1e5+5;

struct Edge
{
    int to,nxt;
}edge[maxn*2];

struct Hash
{
    int operator()(const pair<int,int> &x)const{
        return (1ll*x.F*MOD+x.second)%MOD;
    }
};
unordered_map< pair<int,int> , int, Hash >mp[maxn];//mp 记录某一点的二元组数量

int n,tot;
int a[maxn],head[maxn];

ll ans;

void add(int x,int y)
{
    tot++;
    edge[tot].to=y;
    edge[tot].nxt=head[x];
    head[x]=tot;
}

ll ksm(ll x,ll y)
{
    ll sum=1;
    for(;y;y/=2,x=x*x%mod) if(y&1) sum=sum*x%mod;
    return sum;
}

void dfs(int u,int f)
{
    if(a[u])
    {
        mp[u][make_pair(a[u],a[u])]=1;
        ans=(ans+ksm(a[u],a[u]))%mod;
    }

    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v==f) continue;
        dfs(v,u);
        for(auto j:mp[u])
        {
            for(auto k:mp[v])
                ans=(ans+ksm(j.F.F&k.F.F,j.F.S|k.F.S)*j.S%mod*k.S)%mod;
        }
        for(auto j:mp[v])
        {
            if(j.F.F&&a[u]) mp[u][make_pair(j.F.F&a[u],j.F.S|a[u])]+=j.S;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y),add(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld",ans);
}