平时所学的拓扑都是直接给出开集族或者是basis or subbasis，然后由basis or subbasis生成拓扑。
前些天看Kechris时，遇到了weak topology。泛函分析时学过weak convergence，但没有接触过weak topology。
它给出的定义是generated by functions………看到的时候就很纳闷到底啥叫由函数生成的拓扑。
上网查阅后发现都在说让这些函数都连续的最粗的拓扑。我只能说他这说的也很有迷惑性，也可能是我造诣不行。最后在一本拓扑学书中找到了答案。
\(X\) 是一个集合, \(\left\{f_i :X\rightarrow Y_i\right\}_{i\in I}\) 是一族映射,其中每个 \(Y_i\) 都是拓扑空间.令 \(\mathcal{O}\) 表示 \(X\) 上由子集族 \(\left\{f_{i}^{-1}\left( V_i \right) : i\in I, V_i \text{是} Y_i \text{的开集}\right\}\) 作为子基生成的拓扑.则 \(\mathcal{O}\) 具有以下性质:
- 每个 \(f_i : \left(X, \mathcal{O} \right) \rightarrow Y_i\) 连续.
- 任给 \(X\) 上的拓扑 \(\tau\), 若每个 \(f_i : \left(X, \tau \right)\rightarrow Y_i\) 都连续, 则 \(\mathcal{O} \subseteq \tau\).
\(\mathcal{O}\) 是 \(X\) 上使每个 \(f_i\) 都连续的最粗的拓扑,称该拓扑为 \(X\) 上由映射族 \(\left\{f_i : X\rightarrow Y_i\right\}_{i\in I}\) 生成的初始拓扑或弱拓扑.
这样再去理解泛函分析上的弱拓扑或者是弱*拓扑就容易理解了。
补充一下拓扑基与子基的定义：
\(\left(X,\mathcal{O}\right)\) 是拓扑空间, \(\mathcal{B}\) 是一族开集, 若 \(\left(X,\mathcal{O}\right)\) 的每一个开集都可以表示成 \(\mathcal{B}\) 的一些元素的并, 则称 \(\mathcal{B}\) 为 \(\mathcal{O}\) 的一个基.
设 \(\left(X,\mathcal{O}\right)\) 是拓扑空间, \(\mathcal{B}\) 是一族开集, 若开集族 \(\left\{X\right\}\cup\) \(\left\{U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_n:U_i \in \mathcal{B}, n\geqslant 1\right\}\) 是 \(\mathcal{O}\) 的一个基, 则称 \(\mathcal{B}\) 为 \(\mathcal{O}\) 的一个子基.\(\left(\text{subbasis}\right)\).