一、二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树,它或者是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
二、二叉搜索树的实现
1、基本结构
template<class K>
struct BSTNode//节点
{
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
K _key;//数据
BSTNode<K>* _left;//左指针
BSTNode<K>* _right;//右指针
};
template<class K>
class BSTree//二叉搜索数树
{
public:
typedef BSTNode<K> Node;
protected:
Node* _root = nullptr;//根节点
};
2、Insert函数
- 如果树为空,直接新增节点,赋值给root指针
- 树不为空,按二叉搜索树的性质查找插入位置,插入新节点
- 注意,二叉搜索树是不允许重复值的,如果有重复值,返回false
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)//如果此时树为空
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)//开始寻找插入的地方
{
parent = cur;
if (cur->_key < key)//如果当前节点的key小于要插入节点的key
{
cur = cur->_right;//往右边走
}
else if (cur->_key > key)//如果当前节点的key大于要插入节点的key
{
cur = cur->_left;//往左边走
}
else//如果当前节点的key等于要插入节点的key
{
return false;
}
}
//退出来后虽然已经找到了要插入的位置,但是需要判断插入到左边还是右边
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = new Node(key);//插入到右边
}
else if (parent->_key > key)
{
parent->_left = new Node(key);//插入到左边
}
return true;
}
3、InOrder函数
如果用中序遍历二叉搜索树,得出的结果是有序的。
void _Inorder(Node* root)//子函数
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_Inorder(root->_right);
}
void Inorder()//中序遍历
{
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
4、Find函数
- 从根节点开始查找,进行比较,比当前节点大则往右边查找,比当前节点小则王左边查找
- 最多查找树的高度次,走到空还没找到,这个值不存在。
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
//按照二叉树的性质来找
while (cur)
{
if (cur->_key < key)//当前节点小于key
{
cur = cur->_right;//往右走
}
else if(cur->_key > key)//当前节点大于key
{
cur = cur->_left;//往左走
}
else
{
return true;//找到了
}
}
return false;//没找到
}
5、Erase函数
首先得查找要删除的元素是否在树中,如果不存在,则返回false,否则就进行删除,在删除节点时,可能会遇到以下几种情况
a.要删除节点无孩子节点
b.要删除的节点只有左孩子节点
c.要删除的节点只有右孩子节点
d.要删除的节点有左、右孩子节点
在实际情况中,情况a可以和情况b或者c合并起来,因此真正的删除过程如下:
- 情况b:删除该节点,并且让被删除节点的父节点指向被删除节点的左孩子节点。
- 情况c:删除该节点,并且让被删除节点的父节点指向被删除节点的右孩子节点。
- 情况d:在它的右子树中寻找最小的节点,用最小节点的值替换被删除的节点的值,最后删除最小节点。
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)//查找要删除的节点
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else//找到了
{
if (cur->_right == nullptr)//如果要删除的节点只有左孩子节点
{
if (cur == _root)//如果被删除的是根节点
{
_root = cur->_left;
}
else//如果被删除的不是根节点
{
if (cur == parent->_left)//如果要删除节点时父节点的左孩子节点
{
parent->_left = cur->_left;
}
else//如果要删除节点时父节点的右孩子节点
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_left == nullptr)//如果要删除的节点只有右孩子节点
{
if (cur == _root)//如果被删除的是根节点
{
_root = cur->_right;
}
else//如果被删除的不是根节点
{
if (cur == parent->_left)//如果要删除节点时父节点的左孩子节点
{
parent->_left = cur->_right;
}
else//如果要删除节点时父节点的右孩子节点
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else////如果要删除的节点有左孩子节点也有右孩子节点
{
parent = cur;
Node* MinLeft = cur->_right;
while (MinLeft->_left != nullptr)//找到右边最小的节点
{
parent = MinLeft;
MinLeft = MinLeft->_left;
}
swap(cur->_key, MinLeft->_key);//交换
//删除右边交换过去的节点
//被删除的节点右边可能右孩子节点,用它的父节点连接
if (parent->_left == MinLeft)//用父节点的左指针连接
{
parent->_left = MinLeft->_right;
}
else//用父节点的右指针连接
{
parent->_right = MinLeft->_right;
}
delete MinLeft;
return true;
}
}
}
return false;//没有这个key,删除失败
}
6、递归实现Find函数
bool _FindR(Node* root, const K& key)//子函数
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else if (root->_key == key)
{
return true;
}
}
bool FindR(const K& key)//递归实现查找
{
return _FindR(_root, key);
}
7、递归实现Insert函数
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)//递归插入子函数
{
if (root == nullptr)//找到插入的位置
{
//注意,这里的root传的是引用,所以可以直接指向新节点
root = new Node(key);
return true;
}
//寻找插入的位置
if (root->_key < key)
{
return _InsertR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _InsertR(root->_left, key);
}
else
{
return false;
}
}
bool InsertR(const K& key)//递归实现插入
{
return _InsertR(_root, key);
}
8、递归实现Erase函数
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)//递归删除子函数
{
//root传引用
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)//往右边找
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)//往左边找
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
else//找到了
{
if (root->_right == nullptr)//只有左孩子节点
{
Node* del = root;//记录要删除的节点
root = root->_left;//指向被删除的节点的左孩子节点
delete del;
return true;
}
else if (root->_left == nullptr)//只有右孩子节点
{
Node* del = root;//记录要删除的节点
root = root->_right;//指向被删除的节点的右孩子节点
delete del;
return true;
}
else//右左孩子节点也有右孩子节点
{
Node* MinLeft = root->_right;
while (MinLeft->_left != nullptr)//找右子树的最小节点
{
MinLeft = MinLeft->_left;
}
swap(root->_key, MinLeft->_key);//交换
_EraseR(root->_right, key);//继续递归删除交换后的节点
}
}
return false;
}
bool EraseR(const K& key)//递归删除
{
return _EraseR(_root, key);
}
9、析构函数
void Destroy(Node*& root)//析构子函数
{
//用后序遍历
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
~BSTree()//析构函数
{
Destroy(_root);
}
10、拷贝构造函数与赋值重载函数
Node* Copy(Node* root)//拷贝子函数
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* newNode = new Node(root->_key);
newNode->_left = Copy(root->_left);
newNode->_right = Copy(root->_right);
return newNode;
}
BSTree(const BSTree<K>& t)//拷贝构造
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)//赋值重载
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
11、全部代码
template<class K>
struct BSTNode//节点
{
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
K _key;//数据
BSTNode<K>* _left;//左指针
BSTNode<K>* _right;//右指针
};
template<class K>
class BSTree//二叉搜索数树
{
public:
typedef BSTNode<K> Node;
BSTree() = default;//默认构造函数
BSTree(const BSTree<K>& t)//拷贝构造
{
_root = Copy(t._root);
}
~BSTree()//析构函数
{
Destroy(_root);
}
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)//赋值重载
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
Node* a()
{
return _root;
}
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)//如果此时树为空
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)//开始寻找插入的地方
{
parent = cur;
if (cur->_key < key)//如果当前节点的key小于要插入节点的key
{
cur = cur->_right;//往右边走
}
else if (cur->_key > key)//如果当前节点的key大于要插入节点的key
{
cur = cur->_left;//往左边走
}
else//如果当前节点的key等于要插入节点的key
{
return false;
}
}
//退出来后虽然已经找到了要插入的位置,但是需要判断插入到左边还是右边
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = new Node(key);//插入到右边
}
else if (parent->_key > key)
{
parent->_left = new Node(key);//插入到左边
}
return true;
}
void Inorder()//中序遍历
{
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
//按照二叉树的性质来找
while (cur)
{
if (cur->_key < key)//当前节点小于key
{
cur = cur->_right;//往右走
}
else if(cur->_key > key)//当前节点大于key
{
cur = cur->_left;//往左走
}
else
{
return true;//找到了
}
}
return false;//没找到
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)//查找要删除的节点
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else//找到了
{
if (cur->_right == nullptr)//如果要删除的节点只有左孩子节点
{
if (cur == _root)//如果被删除的是根节点
{
_root = cur->_left;
}
else//如果被删除的不是根节点
{
if (cur == parent->_left)//如果要删除节点时父节点的左孩子节点
{
parent->_left = cur->_left;
}
else//如果要删除节点时父节点的右孩子节点
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_left == nullptr)//如果要删除的节点只有右孩子节点
{
if (cur == _root)//如果被删除的是根节点
{
_root = cur->_right;
}
else//如果被删除的不是根节点
{
if (cur == parent->_left)//如果要删除节点时父节点的左孩子节点
{
parent->_left = cur->_right;
}
else//如果要删除节点时父节点的右孩子节点
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
else////如果要删除的节点有左孩子节点也有右孩子节点
{
parent = cur;
Node* MinLeft = cur->_right;
while (MinLeft->_left != nullptr)//找到右边最小的节点
{
parent = MinLeft;
MinLeft = MinLeft->_left;
}
swap(cur->_key, MinLeft->_key);//交换
//删除右边交换过去的节点
if (parent->_left == MinLeft)
{
parent->_left = MinLeft->_right;
}
else
{
parent->_right = MinLeft->_right;
}
delete MinLeft;
return true;
}
}
}
return false;//没有这个key,删除失败
}
bool FindR(const K& key)//递归实现查找
{
return _FindR(_root, key);
}
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)//递归插入子函数
{
if (root == nullptr)//找到插入的位置
{
//注意,这里的root传的是引用,所以可以直接指向新节点
root = new Node(key);
return true;
}
//寻找插入的位置
if (root->_key < key)
{
return _InsertR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _InsertR(root->_left, key);
}
else
{
return false;
}
}
bool InsertR(const K& key)//递归实现插入
{
return _InsertR(_root, key);
}
bool EraseR(const K& key)//递归删除
{
return _EraseR(_root, key);
}
protected:
void _Inorder(Node* root)//中序遍历子函数
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_Inorder(root->_right);
}
bool _FindR(Node* root, const K& key)//递归查找子函数
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else if (root->_key == key)
{
return true;
}
}
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)//递归删除子函数
{
//root传引用
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)//往右边找
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)//往左边找
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
else//找到了
{
if (root->_right == nullptr)//只有左孩子节点
{
Node* del = root;//记录要删除的节点
root = root->_left;//指向被删除的节点的左孩子节点
delete del;
return true;
}
else if (root->_left == nullptr)//只有右孩子节点
{
Node* del = root;//记录要删除的节点
root = root->_right;//指向被删除的节点的右孩子节点
delete del;
return true;
}
else//右左孩子节点也有右孩子节点
{
Node* MinLeft = root->_right;
while (MinLeft->_left != nullptr)//找右子树的最小节点
{
MinLeft = MinLeft->_left;
}
swap(root->_key, MinLeft->_key);//交换
_EraseR(root->_right, key);//继续递归删除交换后的节点
}
}
return false;
}
void Destroy(Node*& root)//析构子函数
{
//用后序遍历
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
Node* Copy(Node* root)//拷贝子函数
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* newNode = new Node(root->_key);
newNode->_left = Copy(root->_left);
newNode->_right = Copy(root->_right);
return newNode;
}
Node* _root = nullptr; //根节点
};
三、二叉搜索树的应用
1、K模型:K模型即只有key作为关键码,结构中只需要存储key即可,关键码即为需要搜索到的值。
比如:给一个单词world,判断该单词是否拼写正确,具体方式如下:
- 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key,构建一棵二叉搜索树
- 在二叉搜索树中检索该单词是否存在,存在则拼写正确,不存在则拼写错误
2、KV模型:每一个关键码key,都有与之对应的值Value,即<Key, Value>的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见:
- 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系,通过英文可以快速找到与其对应的中文,英
- 再比如统计单词次数,统计成功后,给定单词就可快速找到其出现的次数,单词与其出
完结。。。。。
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