EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换

标签：EM 函数定义域翻折关于对称图象轴对称

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EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴

abstract

坐标@函数@图象的对称和翻折变换

翻折变换

关于坐标轴翻折

此处我们通过研究图象上的点来间接图象变换,设图象的方程为 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_02$ , $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 的定义域为 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_04$

$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_05$

函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_06$ 可以看作是函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_07$ 和 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_08$ 复合而成的函数

$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_09$

设函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 的定义域为 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_11$ ,对于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_12$ , $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_13$ ,即 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_14$ 或作 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_15$ (表示 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_16$ 的定义域关于原点对称)
若 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_17$ ,在 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_18$ 处,可以取函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 上的点 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_20$ ;
$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_21$ , $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_22$ 上一定存在点 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_23$ ;
显然 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_24$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_25$ 轴对称,对定义域内所有 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_26$ 对应的点 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_27$ 和 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_28$ 关于y轴对称
从而 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_29$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_25$ 轴对称,即 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_31$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_25$ 轴对称
例如:

$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_33$ ,则 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_34$ 和 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_33$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_36$ 轴对称
对于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_37$ , $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_38$ = $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_39$ , $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_40$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_36$ 轴对称,即函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_39$ 自身关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_36$ 轴对称

$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_44$

和上面的分析类似,取点分析:若函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ ,上存在 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_20$ ,则函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_47$ 上一定相应地存在 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_48$
显然两点关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_26$ 轴对称,而 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_26$ 是定义域内的任意点,故而 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_47$ 和 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_26$ 轴对称

偶函数@奇函数

偶函数:若函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 的定义域关于原点对称且满足 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_55$ ,则函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 是偶函数,显然 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_25$ 轴对称

若 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_59$ ,那么 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_40$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_36$ 轴对称就变成了 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_62$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_36$ 轴对称( $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 和 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_65$ 重合),即 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_36$ 轴对称

奇函数:若函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 的定义域关于原点对称且满足 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_69$ ,则函数 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 是奇函数,显然 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ 关于坐标原点对称

可以 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 关于原点对称的图形理解为两部分: $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_36$ 轴对称的图形和 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_76$ 轴对称的图形如果重合,那么 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 就是关于原点对称的奇函数

小结

The graph of $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_78$ is the mirror image of the graph of $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ with respect to the vertical axis.
The graph of $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_80$ is the mirror image of the graph of $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_03$ with respect to the horizontal axis.
A function is called even if $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_82$ for all $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_26$ (For example, $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_84$ ).
A function is called odd if $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_85$ for all $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_26$ (For example, $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_87$ ).

其他翻折变换

关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_88$ 对称的直角坐标

$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_89$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_90$ 的对称点坐标 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_91$
$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_89$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_93$ 的对称点坐标 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_94$

$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_95$ 的函数

若 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_96$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_97$ 对称:

$EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 的定义域关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_99$ 对称

若 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_100$ 关于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_101$ 对称,则 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_102$ ,反之亦然

设 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_103$ 是 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 上的点,则 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_105$ 关于对称轴 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_99$ 的对称点 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_107$ 也必然在 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_坐标轴_64$ 上
从而 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_109$ = $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_定义域_110$
由于 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_111$ 是定义域内的任意点,所以 $EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换_函数_112$
即,满足: