怎么判断一个函数的奇偶性?

如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则说明它是奇函数；如果函数满足 f(-x) = f(x)，则说明它是偶函数。

举例说明：
当函数满足 f(-x) = -f(x) 时，它是一个奇函数。一个简单的示例是函数 f(x) = \(x^3\)。让我们验证一下：

• 对于任意实数 x，有 f(-x) = \((-x)^3\) = \(-x^3\) = -f(x)。
• 因此，函数 f(x) = \(x^3\) 是一个奇函数。

当函数满足 f(-x) = f(x) 时，它是一个偶函数。一个简单的示例是函数 f(x) = \(x^2\)。让我们验证一下：

• 对于任意实数 x，有 f(-x) = \((-x)^2\) = \(x^2\) = f(x)。
• 因此，函数 f(x) = \(x^2\) 是一个偶函数。

这两个示例都是简单的多项式函数，但奇函数和偶函数的概念适用于各种类型的函数。

判断函数的奇偶性有什么用？

这是一个核心问题！如果你不能说出来的话，那么你就只是在念一串不知所谓的魔法口诀而已。

收集到的作用有如下5个：

• 简化计算：如果一个函数是奇函数或偶函数，可以利用奇偶性质简化计算。例如，在求某些积分或计算函数的对称点时，可以利用奇偶性质减少计算量。

• 确定对称性：奇偶性可以帮助我们确定函数图像的对称性。奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称。通过分析奇偶性，我们可以推断函数图像的对称特点，从而更好地理解函数的形状和性质。

• 解方程和求根：奇函数和偶函数在方程解和根的求解中也起到重要作用。例如，如果一个方程具有奇函数的形式，可以使用奇函数的性质来简化方程的求解过程。

• 函数图像的对称线：奇函数和偶函数的对称性可以帮助我们确定函数图像的对称线。奇函数的对称线是原点，而偶函数的对称线是 y 轴。这有助于我们在绘制函数图像时选择适当的坐标轴和点。

• 函数的性质和关系：奇偶性还与函数的性质和关系相关。例如，两个奇函数的和仍然是奇函数，两个偶函数的和仍然是偶函数。而奇函数与偶函数的乘积是一个奇函数。通过分析函数的奇偶性，可以推导出函数之间的一些性质和关系。

奇偶性的图像

练习

请分辨下面的函数图像，并说出他们是奇函数，或者偶函数？