CF963B Destruction of a Tree 题解
这里提供一个较为朴素的 DP 想法。
题意简述
给定一棵树，节点个数不超过 \(2 \times 10^5\)，每次可以删掉度数为偶数的点。问最后能不能删完；能删完给出删除方案。
思路分析
首先可以随便选一个点作为根。
其次，我们考虑在一棵子树的删除情况，我们令根节点为 \(u\)，它的直接儿子为 \(v_1,v_2 \dots v_k\)。考虑根节点的删除情况，以及删除时需要参考什么东西。我们发现，根节点删除分为两种情况：1.它的父节点被删除了，也就是这颗子树没有（根节点的）“支上去”的那条边；2.它的父节点还没删除，我就删除根节点。此时是有“支上去”的那条边的。
于是，我们令 \(f_{u,t} ,t \in \{0,1\}\)，\(f_{u,0}\) 表示没有“支上去”的那条边的时候，是否可以删除；\(f_{u,1}\) 表示有“支上去”的那条边的时候，是否可以删除。根据定义， \(f_{u,t} \in \{0,1\}\) ，即状态表示的是“不可以”或者“可以”。
我们考虑子树内如何合理安排删除。我们假设我们现在已经知道了所有 \(v_i,(1 \le i \le k)\) 的 \(f_{v_i,0}\) 和 \(f_{v_i,1}\) 结果。首先，如果存在 \(f_{v_i,0} = 0\) 且 \(f_{v_i,1} = 0\)，那么显然无论如何安排删除顺序，也不能保证删除成功。
接下来我们分析如何安排删除顺序。我们发现，对于 \(f_{v_i,0} = 0\) 且 \(f_{v_i,1} = 1\) 的子节点，应当先删掉它所在的那颗子树（因为要保留 \(u\) 到 \(v_i\) 的那条边的时候才能删）。对于 \(f_{v_i,0} = 1\) 且 \(f_{v_i,1} = 0\) 的节点，我们必须在删掉 \(u\) 之后删。对于\(f_{v_i,0} = 1\) 且 \(f_{v_i,1} = 1\) 的节点，随便安排。
然后我们考虑根节点如何删除。我们发现，如果删掉前面必须删的那些点后，根节点剩下的边是偶数条，那就删掉，然后 \(f_{u,0} \gets 1\) 即可。但是这里就有一个问题，假如说我们剩奇数条边的时候，我们可以再先删掉一个 \(f_{v_i,0} = 1\) 且 \(f_{v_i,1} = 1\) 的节点来使得度数变成偶数。于是这里要再判断一下。
奇数的时候同理，注意“支上去”的边也是连在根节点上的，所以对应的，\(f_{u,1} \gets 1\)。
具体实现的时候，我们不妨把一个点的子节点按照 \(f_{v_i,0} = 0\) 且 \(f_{v_i,1} = 1\)的节点在前面，\(f_{v_i,0} = 1\) 且 \(f_{v_i,1} = 1\)的节点在中间，\(f_{v_i,0} = 1\) 且 \(f_{v_i,1} = 0\)的节点在后面，以此来排序。
输出方案的时候，我们可以对于每个点，搜索对应状态（比如根节点是1，从\(f_{1,0}\)开始搜索），再递归下去（对于\(f_{v_i,0} = 1\) 且 \(f_{v_i,1} = 1\)的节点，我们随便钦定一个就行）。所以一共是两遍dfs，第一遍求状态，第二遍根据状态信息推出顺序。第二遍dfs的时候，代码中的分类有所简化，如果不清楚，可以尝试先各类写一遍再简化合并。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 5;
struct edge
{
int v,next;
}e[N*2];
int head[N];
int cnt;
void adde(int u,int v)
{
++cnt;
e[cnt].v =v;
e[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt;
}
int n;
bool f[N][2];
vector<int> output;
struct node
{
int idx;
bool ck0,ck1;
};
bool cmp1(const node xx,const node yy)
{
if(xx.ck1 != yy.ck1)
return xx.ck1 > yy.ck1;
return xx.ck0 < yy.ck0;
}
vector<node> vec[N];
int deg[N];
int tdx[N];
bool dfs(int u,int fa)
{
bool check = true;
for(int i = head[u];i != 0;i = e[i].next)
{
int v = e[i].v;
if(v != fa)
{
deg[u]++;
dfs(v,u);
if(f[v][0] == 0 && f[v][1] == 0)
{
check = false;
break;
}
vec[u].push_back({v,f[v][0],f[v][1]});
}
}
if(deg == 0)
{
f[u][1] = 0;
f[u][0] = 1;
}
else
{
sort(vec[u].begin(),vec[u].end(),cmp1);
tdx[u] = -1;
for(int i = 0;i < vec[u].size();i++)
{
if(vec[u][i].ck1 == 1 && vec[u][i].ck0 == 0)
{
tdx[u] = i;
}
else
{
break;
}
}
bool mody = false;
if(tdx[u]+1 < vec[u].size() && vec[u][tdx[u]+1].ck1 == 1 && vec[u][tdx[u]+1].ck1 == 0)
{
mody = true;
}
if((deg[u]-(tdx[u]+1))%2 == 0)
{
f[u][0] = 1;
if(mody)
f[u][1] = 1;
}
else
{
f[u][1] = 1;
if(mody)
f[u][0] = 1;
}
}
return check;
}
void efs(int u,int st)
{
int i = 0;
for(;i <= tdx[u];i++)
{
efs(vec[u][i].idx,1);
}
if(st == 0)
{
if((deg[u]-(tdx[u]+1))%2 != 0)
{
efs(vec[u][i].idx,1);
i++;
}
}
else
{
if((deg[u]-(tdx[u]+1))%2 != 1)
{
efs(vec[u][i].idx,1);
i++;
}
}
output.push_back(u);
for(;i < vec[u].size();i++)
{
efs(vec[u][i].idx,0);
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
int u;
cin >> u;
if(u != 0)
{
adde(u,i);
adde(i,u);
}
}
bool res = dfs(1,0);
if(res == 0 || f[1][0] == 0)
{
cout << "NO\n";
return 0;
}
cout << "YES\n";
efs(1,0);
for(int i = 0;i < output.size();i++)
{
cout << output[i] << "\n";
}
return 0;
}