prologue

数组范围一定要看好了开，不然容易我一样，调试调了一页多。

还有就是不要傻乎乎地只跑一次和哈希，因为和哈希（从下面地佬的题解中才知道）它其实算作是一种 trick（类比SA（Stimulate_anneal）。

analysis

这个题目的第二个询问时询问一个区间里面出现过的正整数的次数是否为 \(k\) 的倍数。这个题可以说是这个题目的 pro plus 版本。这样子的话么，我们就可以往这个方面考虑。

我们再继续分析这个题目。

我们和上面所示的例题一样，将统计出现次数，哈希一下。

然后，我们记 \(G(l, r)\) 为一个区间里面的数字哈希和，如果满足题目中的性质，那么我们会有:

证明：取其中的一个数 \(a_i\) 为例，出现了 \(k\) 次则相加和一定为 \(k\) 的
\(a_i\)倍数。对于满足条件的 \(G(l, r)\) 其中每一个数都满足条件，由此得证。

最后我们就转化成了给每一个数字的哈希值求和，然后看这个值能否整除 \(k\)。

还有就是对于这个里面的时候进行离散化要考虑好常数问题，然后选择合适的方法进行离散化。

然后我们分析一下正确性，对于一个区间限制最坏的情况是存在一对数 \((x, y)\)，满足 \(k \mid cnt_x + cnt_y, k \nmid cnt_x, k\nmid cnt_y\) 那么这个时候我们判断错误当且仅当 \((x, y)\) 全被选，或者 \((x, y)\) 全不选。我们随机判错的概率是 \(\frac{1}{2}\)，所以当我们进行了 \(B\) 次判断，我们判错的概率就是 \(\frac{1}{2^B}\)，这个时候取到 \(B = 30\) 即可。

code time

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define rl register ll
#define lowbit(x) (x & -x)
mt19937 rnd; // 一个很好用的随机化，与rand相比这个会更快一点，听别的题解们说不用这个会被卡/fad

template <class T> // 快读板子 

inline void read(T &res)
{
    char ch; bool f = 0 ;
    while((ch = getchar()) < '0' || ch > '9') f |= ch == '-';
    res = ch ^ 48;
    while((ch = getchar()) <= '9' && ch >= '0') res = (res << 1) + (res << 3) + (ch ^ 48);
    res = f ? ~res + 1 : res;
}

const ll N = 3e5 + 10;

ll n, a[N], m, lst[N];

ll tr[N], ls[N << 2], tot, rd[N << 2]; // 想好数组大小

bool ans[N];

struct node
{
    ll op, x, y, z;
}q[N << 1];

inline ll Rand(ll l, ll r)
{
    uniform_int_distribution<ll>distribution(l, r);
    return distribution(rnd);
}

inline void add(ll x, ll c)
{
    for(; x <= n; x += lowbit(x)) tr[x] += c;
}

inline ll sum(ll x)
{
    ll res = 0;
    for(; x; x -= lowbit(x)) res += tr[x];
    return res;
}

int main()
{
    // freopen("1.in", "r", stdin), freopen("1.out", "w", stdout);

    read(n), read(m);

    for(rl i=1; i <= n; ++ i)
    {
        read(a[i]);
        ls[ ++ tot] = a[i];
    }

    for(rl i=1; i <= m; ++ i)
    {
        read(q[i].op), read(q[i].x), read(q[i].y);
        if(q[i].op == 1) ls[ ++ tot] = q[i].y;
        else read(q[i].z);
    }

    sort(ls + 1, ls + 1 + tot);

    tot = unique(ls + 1, ls + 1 + tot) - ls - 1;

    for(rl i=1; i <= n; ++ i) a[i] = lower_bound(ls + 1, ls + 1 + tot, a[i]) - ls;

    for(rl i=1; i <= m; ++ i) if(q[i].op == 1) q[i].y = lower_bound(ls + 1, ls + 1 + tot, q[i].y) - ls;

    memset(ans, 1, sizeof ans);

    for(rl i=0; i < 30; ++ i)
    {
        memset(tr, 0, sizeof tr);
        for(rl i=1; i <= tot; ++ i) rd[i] = Rand(1, 1e9);
        for(rl i=1; i <= n; ++ i) lst[i] = a[i];
        for(rl i=1; i <= n; ++ i) add(i, rd[a[i]]);
        for(rl i=1; i <= m; ++ i)
        {
            if(q[i].op == 1)
            {
                add(q[i].x, -rd[lst[q[i].x]]);
                lst[q[i].x] = q[i].y;
                add(q[i].x, rd[lst[q[i].x]]);
            }
            else ans[i] &= ((sum(q[i].y) - sum(q[i].x - 1)) % q[i].z == 0);
        }
    }

    for(rl i=1; i <= m; ++ i) if(q[i].op == 2) (ans[i] == 1) ? puts("YES") : puts("NO");
    return 0;
}