最小生成树，就是图上边权和最小的生成树。
令 \(n\) 为图上节点数，\(m\) 为图的边数。
$$\texttt{Kruskal}$$
克鲁斯卡尔算法，一种常见且方便好写的最小生成树算法，利用贪心的思想+并查集维护。
贪心就是按边权从小到大排序，依次处理。如果当前边的两个端点处于同一棵树内，那么就不能加这条边(否则会形成环，不满足生成树的要求)，否则将这条边连起来。
判断两点是否处于同一棵树内，这不就是并查集所维护的吗？
排序：\(O(m\log m)\)，并查集就看写的是什么了。空间复杂度：\(O(n+m)\)。
$$\texttt{Prim}$$
Prim 是另外一种常见且码量也不算很多的最小生成树算法，主要思想就是维护每个点到生成树内的点的最短距离，每次把距离最小的加入最小生成树。
加入距离最小的点，这个也可以用优先队列维护，但它复杂度并没有更优，常数也比 Kruskal 要大，所以一般非必要情况下不会写 Prim。
<iframe allowfullscreen="true" border="0" frameborder="no" framespacing="0" height="600," scrolling="no" src="//player.bilibili.com/player.html?aid=354646476&bvid=BV1dX4y1k7Ky&cid=1086621365&p=1" width="900,"> </iframe>次小生成树
非严格次小生成树
令图的最小生成树为 \(T\)，那么对于每条非树边 \((u,v,w)\)，找到 \(T\) 中 \(u\) 到 \(v\) 路径上的边权最大的一条边，把它删掉，再加入 \((u,v,w)\)，就可以得到一棵新的生成树，取这些新的生成树中边权之和最小的即可。
维护 \(u,v\) 路径上的边权最大值也很简单，首先预处理，然后每次倍增 LCA 即可。
严格次小生成树
观察原本的算法，为啥它是非严格的呢？因为可能这条路径上的最大值恰好等于 \(w\)，此时边权之和没有改变，所以是非严格的。
解决方法也很简单，只要在维护最大值时顺便维护一个严格次大值，当最大值等于 \(w\) 时则用严格次大值来替换。
细节不少，D 了我至少一个小时。
struct MST {
vector<pair<int, int>> g[N];
int fa[N][25], mx[N][25][2], h[N];
void Add (int x, int y, int z) {
g[x].push_back({y, z}), g[y].push_back({x, z});
}
void MkTe (int x) {
h[x]++;
for (auto i : g[x]) {
if (i.first != fa[x][0]) {
fa[i.first][0] = x, mx[i.first][0][0] = i.second, mx[i.first][0][1] = -1, h[i.first] = h[x], MkTe(i.first);
}
}
}
void FAT () {
for (int i = 0; i <= 20; i++) {
mx[0][i][0] = mx[0][i][1] = -1;
}
for (int i = 1; i <= 20; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
fa[j][i] = fa[fa[j][i - 1]][i - 1], mx[j][i][0] = mx[j][i - 1][0], mx[j][i][1] = mx[j][i - 1][1];
if (mx[fa[j][i - 1]][i - 1][0] > mx[j][i][0]) {
mx[j][i][1] = mx[j][i][0], mx[j][i][0] = mx[fa[j][i - 1]][i - 1][0];
} else if (mx[fa[j][i - 1]][i - 1][0] < mx[j][i][0] && mx[fa[j][i - 1]][i - 1][0] > mx[j][i][1]) {
mx[j][i][1] = mx[fa[j][i - 1]][i - 1][0];
}
if (mx[fa[j][i - 1]][i - 1][1] < mx[j][i][0] && mx[fa[j][i - 1]][i - 1][1] > mx[j][i][1]) {
mx[j][i][1] = mx[fa[j][i - 1]][i - 1][1];
}
}
}
}
pair<int, int> lca (int x, int y) {
if (h[x] > h[y]) {
swap(x, y);
}
pair<int, int> xm = {-1, -1};
for (int i = 20; i >= 0; i--) {
if ((h[y] - h[x]) >> i) {
if (mx[y][i][0] > xm.first) {
xm.second = xm.first, xm.first = mx[y][i][0];
} else if (mx[y][i][0] < xm.first && mx[y][i][0] > xm.second) {
xm.second = mx[y][i][0];
}
if (mx[y][i][1] < xm.first && mx[y][i][1] > xm.second) {
xm.second = mx[y][i][1];
}
y = fa[y][i];
}
}
if (x == y) {
return xm;
}
for (int i = 20; i >= 0; i--) {
if (fa[x][i] != fa[y][i]) {
if (mx[y][i][0] > xm.first) {
xm.second = xm.first, xm.first = mx[y][i][0];
} else if (mx[y][i][0] < xm.first && mx[y][i][0] > xm.second) {
xm.second = mx[y][i][0];
}
if (mx[y][i][1] < xm.first && mx[y][i][1] > xm.second) {
xm.second = mx[y][i][1];
}
if (mx[x][i][0] > xm.first) {
xm.second = xm.first, xm.first = mx[x][i][0];
} else if (mx[x][i][0] < xm.first && mx[x][i][0] > xm.second) {
xm.second = mx[x][i][0];
}
if (mx[x][i][1] < xm.first && mx[x][i][1] > xm.second) {
xm.second = mx[x][i][1];
}
y = fa[y][i], x = fa[x][i];
}
}
if (mx[y][0][0] > xm.first) {
xm.second = xm.first, xm.first = mx[y][0][0];
} else if (mx[y][0][0] < xm.first && mx[y][0][0] > xm.second) {
xm.second = mx[y][0][0];
}
if (mx[y][0][1] < xm.first && mx[y][0][1] > xm.second) {
xm.second = mx[y][0][1];
}
if (mx[x][0][0] > xm.first) {
xm.second = xm.first, xm.first = mx[x][0][0];
} else if (mx[x][0][0] < xm.first && mx[x][0][0] > xm.second) {
xm.second = mx[x][0][0];
}
if (mx[x][0][1] < xm.first && mx[x][0][1] > xm.second) {
xm.second = mx[x][0][1];
}
return xm;
}
} mst;