快速选择

一、算法描述

在我们求一组元素的第\(K\)大值或者前\(K\)大值时，可能最先想到的是对元素进行排序，然后选择第\(K\)大的或者前\(K\)大的值。

不过我们只是想取第\(K\)大的数，有必要将整组元素进行排序吗？当然不必，这就是我们将要介绍的快速选择算法，其时间复杂度可以达到O(n)。

思路如下：

1. 选择分界点，int x = q[l], q[r], q[(l + r) >> 1]
2. 调整区间，使得左区间所有的数都≤x，使得右区间所有的数都≥x
3. 判断第k个数在左区间还是右区间，然后递归排序一个区间即可

• 显然快速选择算法是基于快排的。
• 最后一步只需要选择一个区间，也就是为什么时间复杂度是O(n)的原因。

二、题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的整数数列，以及一个整数 \(k\)，请用快速选择算法求出数列从小到大排序后的第 \(k\) 个数。

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(k\)。

第二行包含 \(n\) 个整数（所有整数均在 \(1\)~\(10^9\) 范围内），表示整数数列。

输出格式

输出一个整数，表示数列的第 \(k\) 小数。

数据范围

\(1≤n≤100000\)

\(1≤k≤n\)

输入样例：

5 3
2 4 1 5 3 

输出样例：

3 

三、原题链接

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, k;
int a[N];

int quick_sort(int a[], int l, int r, int k)
{
    if (l >= r) return a[l];
    
    int x = a[(l + r) >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j)
    {
        do ++i; while (a[i] < x);
        do --j; while (a[j] > x);
        
        if (i < j)  swap(a[i], a[j]);
    }
    
    int sl = j - l + 1;
    if (k > sl) return quick_sort(a, j + 1, r, k - sl);
    else    return quick_sort(a, l, j, k);
}

int main()
{
    cin >> n >> k;
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    
    cout << quick_sort(a, 0, n - 1, k) << endl;
    
    return 0;
}