分布律，概率分布函数，概率密度函数

标签：infty 概率密度函数 函数 概率分布 连续型 离散 随机变量

1. 分布律

定义

分布律只针对离散型随机变量，连续型没有
设离散型随机变量可能取值为\(x_k(k=1,2,...)\),事件\(\{X=x_k\}\)的概率为离散型随机变量\(X\)的分布律，记作\(P\{X=x_k\} = p_k,k=1,2...\)

性质

1. \(p_k>=0\) 。\(p_k\)的意思是取值为k的概率
2. \(\sum_{k=1}^{\infty} = 1\)

2. 分布函数

定义

设\(X\)是一个随机变量,x是任意实数，函数\(F(x)=P(X<=x),-\infty<x<+\infty\)称为\(X\)的分布函数

性质

1. \(F(x)是单调不减函数，即：对任意x_1<x_2\)，有\(F(x_1)<=F(x_2)\)

\[F(x_2)-F(x_1)=p\{x_1<X<=x_2\}>=0 \]

\[\begin{align} &0<=F(x)<=1\\ &\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0,\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1 \end{align} \]

3. \(F(x)\)是右连续的

\[\lim_{x->x_0}F(x)=F(x_0) \]

3. 概率密度函数

定义

概率密度只针对连续型随机变量，离散型没有
对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，存在非负可积函数\(f(x)\)使对于任意实数\(x\)，有

\[F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt \]

则称\(X\)为连续型随机变量，其中函数\(f(x)\)称为\(X\)的概率密度函数，简称为概率密度

性质

1. \(f(x)>=0,x\varepsilon R\)
2. \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)
3. 对任意给定的\(x_1<x_2\)，\(P\{x_1<X<=x_2\}=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\)
4. 在\(f(x)\)的连续点处，总有\(f(x)=F'(x)\)
5. 连续型随机变量\(X\)取任一点\(x_0\)的概率始终为0，即\(P\{X=x_0\}=0\)
   原因可见第二性质

几何意义

\(X\)落在区间\((x_1,x_2]\)的概率等于区间\((x_1,x_2]\)上曲线\(y=f(x)\)之下的曲边梯形的面积

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