一、二维平面下的积分（包括直角坐标系、极坐标、参数方程的下的面积、弧长、侧面积和体积公式以及一些拓展）
问题来源: 2003年数二真题填空题第四题开门红
这道题极其的简单，却折射出了我的很多问题 我发现我对极坐标下的各种积分都有很大程度的遗忘，有的积分公式甚至一点印象都没有，如同没学
1、直角坐标系、极坐标、参数方程下的面积公式
注意这里的极坐标面积公式！！！
2、直角坐标系、极坐标、参数方程下的弧长公式
3、直角坐标系、极坐标、参数方程下的旋转体表面积公式
对于极坐标与参数方程的表面积公式，实际上就是先列出直角坐标系的公式，再把极坐标或参数方程套进去，仅此而已
4、直角坐标系、极坐标、参数方程下的旋转体体积公式
这里说一下几个点
- 参数方程的体积公式其实就相当于直角坐标系的体积公式下灌入参数方程
- 极坐标的体积公式还可以这样写:
直接把极坐标方程化成直角坐标系的形式，然后在用直角坐标系的方式对其积分，在积分过程再次化为极坐标!!!
这种方法十分便以理解 - 极坐标体积公式不好推导，直接记下吧
5、我们在学二重积分时，对坐标区域使用极坐标变换的手段与上面的求极坐标面积公式大不不同，前者一般是用固定的极坐标变换(x=rcos,y=rsin)对已给出的直接坐标系进行拟合，它本身不是极坐标，而是要后天变成极坐标
比如求 \(x^2+y^2=1\)的面积时，就需要先用极坐标进行拟合
6、我们在学习三重积分的时候也经常使用极坐标变换，这里的极坐标变换大致分为这样几种
- 使用极坐标对已给出的空间直角坐标系进行拟合
- 球的体积公式，或者类球的体积公式(指能通过雅可比变化成球)
这里的三重积分有一种独特的手段:可以根据直角坐标系直接写出其参数方程
同样，这种手段也可以用在二维平面上:
求\(x^2+y^2=1\)的面积，我们既可以直接使用极坐标拟合，也可以直接化成参数方程来求解
7、对于某定长直线的旋转体体积的求解
这是一个容易忽视的问题，张宇老师给出的公式又臭又长，凯哥给的公式有使用范围，武老的公式算是万能
具体看：
https://www.cnblogs.com/lordtianqiyi/p/17578154.html