字符串小记 II：字符串自动机

OI 中的自动机指的是“有限状态自动机”，它是对一串信号进行处理的数学模型，一般由以下三部分构成：

字符集（\(\Sigma\)），能够输入进自动机的字符集合。
状态集合（\(Q\)) ，相当于有向图中的节点。
转移函数（\(\delta\)），相当于有向图中的边。

我们通过输入的信息在这个有向图中转移，而这个有向图中的每个节点也拥有着一些信息，比如在 trie 中，我们输入字符并在这个自动机中持续往下走，即在这个自动机上转移，trie 中的每个节点代表一个由根节点到它的路径组成的一个字符串，我们知道现在在哪个节点就能知道当前状态所对应的字符串，注意这个信息是隐式的，我们并不需要实际储存，节点已经代表了信息。

为什么我们需要自动机呢，在一些字符串匹配问题中，暴力地匹配等价于在自动机上转移，那我们何不利用自动机的一些良好性质压缩转移路径。又由于自动机中节点代表的信息是被压缩过的，我们也可以以此优化算法中的冗余状态，这点常见于自动机优化 dp 的题目之中。

本文将简单地说明一下 OI 中常见的各类字符串自动机，重点描述实现的一些注意事项，状态性质与实际的一些用法，由于 trie 的结构较为简单因此本文不会涉及。

1.KMP 自动机

2.子序列自动机

3.AC 自动机（ACAM）

4.回文树 / 回文自动机（PAM）

简单性质

我们建立两个根节点，分别为奇根和偶根，将字符串中所有本质不同子串建立节点，回文串长度为 1 的连到奇根下面，长度为 2 的连到偶根下面，对于其他节点，字符串 \([i,j]\) 代表的节点连到字符串 \([i+1,j-1]\) 代表的节点下方，这形成了一个森林结构，叫做回文树。

若不关注节点所储存的信息和编号，对于每个回文串的一半，我们将其类似地以 trie 的形式插入到奇根和偶根之下，则所得到的森林与这个字符串的回文树是同构的，所以回文树也可以看做每个“半回文串”形成的 trie，我们可以依次类似地构造每个节点的失配指针，指向的节点为当前字符串的最长回文后缀，这样形成的自动机结构叫做该字符串的回文自动机。

具体构造

如何构造出一棵回文自动机呢？具体算法流程如下：

初始化：新建两个编号为 0，1 的节点表示偶根与奇根，之所以选择这两个编号的节点是为了防止越界，接着将 0 节点长度设为 0，1节点长度设为 -1，这是为了后面节点长度合理与跳失误指针时不会死循环，因为单个字符也算回文串。
插入字符：当插入一个新字符时，我们不断跳插入上一个字符时所获得的节点（记为 \(last\) 的失配指针（因为上一个节点代表的字符串为插入这个字符前总字符串的最长回文后缀），直到某个状态再往前一个字符与新插入的字符相同，记跳到的状态为 \(p\) 。

这代表我们找到了插入当前字符后总字符串的最长回文后缀。判断是否存在代表着这个回文后缀的节点，即看当前节点有没有一个当前字符类型的转移，不存在进入 3，否则进入 4。
若是不存在对应节点，那我们新建一个节点 \(q\) ，然后跳 \(fail_p\) 的失配指针直到某个状态再往前一个字符与新插入的字符相同，这个状态即为 \(fail_q\) ，接着 \(len_p+2 \rightarrow len_q\) ，\(q \rightarrow ch_{p,num}\)。
\(last \rightarrow ch_{p,num}\) ，若是还有字符则回到 2。

其中第 2 步与 KMP 中不断跳前缀函数寻找一个可行 Border 是类似的，都是不断跳函数找到一个状态使得它满足前面一个字符与当前相等；第三步中不能把最后的两步赋值提前，否则有可能会在跳失配指针的时候进入死循环。

应用

由定义可知回文自动机的状态数等于字符串中本质不同回文串个数（排除根节点）。

每个回文子串的出现次数可以类似 ACAM 查询字符串出现次数，将每个前缀的最长回文后缀所标的状态的 \(cnt\) 加 1，接着以失配指针为边拓扑排序，则 \(cnt_u = \Sigma_{fail_v=u} cnt_v\)。

slink 链与回文划分

最小回文划分：给定一个字符串 \(s\)，求一个最小的 \(k\)，使得 \(s=t_1t_2\cdots t_k\) 并且任意 \(t\) 为回文串。

考虑一个朴素的 dp，\(f_i\) 表示 \(i\) 前缀的最小回文划分，则 \(f_i=1+\min f_j\) 且 \(s[j+1,i]\) 为回文串，时间复杂度为 \(O(n^2)\)

可以注意到每次我们转移对象都相当于扣掉了当前字符串的一个回文后缀，即为回文自动机上对应状态跳失配指针所能跳到的节点的相反部分，但是在自动机上转移仅能优化常数，我们需要一个更好的方法。

注意到一个性质：每一个回文串的回文后缀都是该串的 Border，而一个串的 Border 又可以划分为 \(O(\log n)\) 个等差数列，我们能否把回文后缀转化成 Border 利用 Border 相关性质处理呢？为了利用这个性质，我们引入 \(diff\) 函数和 \(slink\) 链

使 \(diff_u \leftarrow len_u - len_{fail_u}\)，而 \(slink_u\) 则表示沿失配指针能跳到的第一个 \(diff_v \neq diff_u\) 的节点 \(v\)，考虑新增字符后新增状态所在的等差数列发生了什么变化，如图所示（图源 oi-wiki）：

在这幅图中，同一列上的节点或线段表示在原字符串中位置相同，可以看到 \(x\) 是我们增添了一个字符后创造的状态，而它的失配指针所指向的状态在原先已经存在过，即为上面蓝色部分的 \(fail_x\)。

我们发现橙色部分与蓝色部分的答案其实只差最右边橙色块的 \(f\)，考虑设计 \(g_x\) 表示 \(x\) 到 \(slink_x\) 之前部分 \(f\) 的和，对于 \(fail_x\) 来说就是蓝色部分的 \(f\) 值求和，那么我们只要让 \(g_{ fail_x } + f_{i-diff_x-slink_x} \rightarrow g_x\) 即可，式子中的 \(f\) 就是新加的最右边的橙色部分，\(i\) 表示目前新加的字符位置，\(x\) 表示新加字符在自动机中的状态，二者比较容易弄混。

而对于其他的等差数列，我们只要继续跳 \(slink_x\) 处理即可，时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

例题： CF932G Palindrome Partition