「闲话随笔」Yubai 数数

国庆快乐！

可是已经开学了，奥赛生只配放 7 + 3 = 2- .

衡实初中部为啥没有集训啊？可能是因为以前机房在衡实只能去衡实集训，所以就把初中带上了吧，本来不会集训的 .

诶不对好像是不是初中国庆一直不集训 .

居然已经闲话一周年了，但是好像一共没写几篇闲话 .

有开个日记记录每天的尝试，结果咕了 . 我是这样的 .

推歌：《UNDER THE TREE》.

Amazing Counting problem!

给定两个排列 \(p\) 和 \(q\)，如果在 \(p\) 选了一个元素，那么在 \(q\) 中标记相同位置和相同数值的元素 .

例如 \(p:(1, 3, 2, 4), q:(1, 2, 3, 4)\)，当选择 \(p_2 = 3\) 时，相同位置的 \(q_2\) 被标记，相同值的 \(q_3 = 3\) 也被标记 .

求出在 \(p\) 中选出 \(i\) 个数，\(q\) 中标记 \(j\) 个数的方案数 .

和 5k 一起想的，sto 5k orz .

考虑建二分图，发现一定连出若干个长度为偶的环 . 感性理解是对的，但是我不知道怎么写成严谨的证明 .

不难发现问题转化为求若干条不交的路径，覆盖 \(i\)个上部点和 \(j\) 个下部点 .

对于一条路径只有两种情况：一整个环或是起点和终点均为下部点，前者显然，后者考虑以一个上部点为起点时，与它相连的两个下部点必选，它就不是起点了 .

不同环互不影响，考虑对每个环单独计数 . 设 \(f_{i, j, k}\) 表示当前的环上，前 \(i\) 个点中选了 \(j\) 个上部点，\(k\) 个下部点 . 拆坏为链后前缀和转移 . 均摊下来总复杂度为 \(O(n^3)\) .

考虑合并环的贡献 . 设 \(g_{i, j, k}\) 表示前 \(i\) 个环选了 \(j\) 个上部点，\(k\) 个下部点，枚举当前环贡献多少个上部点和下部点，可以 \(O(n^5)\) 转移出答案 . 大概是 \(g_{i, j, k} = \sum_{x = 0}^{j}\sum_{y = 0}^{k}g_{i - 1, j - x, k - y}f_{i, x, y}\)，上下界也许需要卡一下 .

感觉复杂度瓶颈在合并上于是仔细观察，发现是一个天然的卷积形式，于是考虑使用科技 poly-2D，可以做到总时间复杂度 \(O(n^3\log n)\) .

但是你会发现没有一个上界可以卡住，这个复杂度是非常非常松的 .

其实并不很好，因为原题给出了数据范围 \(n\le 3000\)，应该存在一个 \(O(n^2)\) 的优秀做法，那么作者有什么美妙的解法呢？

有没有老哥可以提供一个更好的解法？感觉还挺有意思的 .