2.1.4 两级放大器的摆幅
放大器输出变化的最大速率受到其内部有限的偏置电流的限制，当放大器的输入变化过快时，放大器无法再在输入保持虚地，因此放大器会看到一个巨大的差分输入。放大器的输出随之以最大速率进行变化，称之为摆幅。在摆幅的限制下，放大器的响应是非线性的，其影响如下图所示：
一个大的阶跃响应输入会使得输出以摆幅速率进行增长，知道其可以以低于摆幅的速率变化时才能恢复线性。这样的传输行为在开关电容电路中很常见，其中摆幅是主要决定电路建立时间的因素。
例题1：
考虑一个闭环放大器，其一阶线性建立时间常数为\(\tau = 0.2\mu s\)，摆幅为\(1V/\mu s\)，当需要产生一个\(0.1mV\)精度的\(10mV\)阶跃输出时需要多少时间？如果是\(1V\)的阶跃输出呢？
解答：
放大器将把所有线性建立的导数超过摆幅的地方限制在摆幅，对于阶跃幅度\(V_{step}\)来说，其线性建立以指数形式进行：
\[v_o=V_{step}(1-e^{-t/\tau}) \tag{2.1.62} \]最大的变化速率在时间初始处：
\[\frac{dv_o}{dt}\bigg|_{max}=\frac{dv_o}{dt}\bigg|_{t=0}=\frac{V_{step}}{\tau} \tag{2.1.63} \]只要最大变化速率小于摆幅，就不会受到摆幅的限制。因此不受摆幅影响的最大阶跃幅度由下式给出：
\[V_{step,max}<SR\times \tau \tag{2.1.64} \]在这个例子中，可以计算出只要输出阶跃幅度小于\(0.2V\)就可以线性建立。对于\(10mV\)阶跃，由\((2.1.63)\)计算出的斜率只有\(0.05V/s\)，远低于摆幅的限制。因此99%建立只需要\(-ln(0.1/10)\tau=4.6\tau = 0.92\mu s\)。
当使用\(1V\)阶跃时，输出将先以摆幅速率增长，直到接近最终值以后才会开始线性建立。可计算出被限制以摆幅增长的时间为\((1V-0.2V)/(1V/\mu s)=0.8\mu s\)。从这个时间点开始放大器进入线性建立，以\(0.1mV\)精度，则需要\(-ln(0.1/200)\tau=7.6\tau\)的时间，最后完整的建立时间\(0.8\mu s+7.6\tau = 2.32\mu s\)。如果放大器的输出摆幅足够大，不会影响线性建立的话，那么建立时间将会是\(-ln(0.1/1000)\tau = 1.84\mu s\)。
(这里利用了一阶系统建立时间的结论)
当前文中的两级放大器的输入过大导致其输出受到摆幅时限制时，\(Q_5\)中的所有偏置电流都流入\(Q_1\)或者\(Q_2\)。取决于\(v_{in}\)是正还是负。当\(v_{in}\)是一个大的正电压时，偏置电流\(I_{D5}\)完全流经\(Q_1\)并进入电流镜对\(Q_3\)，\(Q_4\)。因此从补偿电容\(C_c\)流出的电流就等于\(I_{D5}\)，因为\(Q_2\)已经关断。当\(v_{in}\)是一个大的负电压时，由于\(Q_1\)关断，电流镜对\(Q_3\)和\(Q_4\)也关断，偏置电流通过\(Q_2\)完全流经\(C_c\)。在这两种情况中，流经\(C_c\)的最大电流都是偏置电流\(I_{D5}\)。
因此摆幅：
\[SR = \frac{dv_{out}}{dt}\bigg|_{max}=\frac{I_{C_c}|_{max}}{C_c}=\frac{I_{D5}}{C_c} \tag{2.1.65} \]这里我们利用了\(q=CV\)，从而\(I=dq/dt=C(dV/dt)\)。由于\(I_{D5}=2I_{D1}\)，我们可以列出：
\[SR=\frac{2I_{D1}}{C_c}=\frac{I_{D5}}{C_c} \tag{2.1.66} \]其中\(I_{D1}\)为\(Q_1\)在没有信号输入时的偏置电流。利用\((2.1.15)\)，我们知道\(C_c=g_{m1}/\omega_{ta}\)，将其代入\((2.1.66)\)后有：
\[SR = \frac{2I_{D1}\omega_{ta}}{g_{m1}} \tag{2.1.67} \]考虑到：
\[g_{m1}=\sqrt{2\mu_pC_{ox}(\frac{W}{L})_1I_{D1}} \tag{2.1.68} \]以及
\[V_{eff1}=\sqrt{\frac{2I_{D1}}{\mu_pC_{ox}(W/L)_1}} \tag{2.1.69} \]我们可以得到摆幅的最终表达式：
\[SR = \frac{2I_{D1}}{\sqrt{2\mu_pC_{ox}(W/L)_1I_{D1}}}\omega_{ta}=V_{eff1}\omega_{ta} \tag{2.1.70} \]出于稳定性的考虑，\(\omega_{ta}\)稳定低于\(\omega_{p2}\)，因此对于一个补偿好的放大器，可以提升摆幅的方法是增大\(V_{eff1}\)或者\(\omega_{p2}\)。
例题2：
使用《两级放大器的增益》一节中的参数，假定\(C_c=1pF\)，试求斜率。如何修改电路可以在保证\(\omega_{ta}\)和偏置电流不变的情况下将斜率增大为两倍？
解答：
根据\((2.1.66)\)，有：
\[SR = \frac{200\mu A}{1pF}=200V/\mu s \tag{2.1.71} \]为了将摆幅扩大到两倍，同时保持偏置电流不变，\(C_c\)需要被设置成\(0.5pF\)。为了保持单位增益频率不变，\(g_{m1}\)需要变为一般，即需要减少4倍\(Q_1\)和\(Q_2\)的宽度，即使得\(W_1=W_2=9\mu m\)。
假定在固定的功耗下，由于偏置电流不变，增大\(V_{eff1}\)增大了摆幅\((2.1.70)\)，并能够减少失真，但也降低了第一级的跨导，从而导致最终的增益降低\((2.1.1)\)，并增大了等效输入噪声。
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