题目描述
插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。
假设比较两个元素的时间为 \(\mathcal O(1)\)，则插入排序可以以 \(\mathcal O(n^2)\) 的时间复杂度完成长度为 \(n\) 的数组的排序。不妨假设这 \(n\) 个数字分别存储在 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：
这下面是 C/C++ 的示范代码：
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i; j >= 2; j--)
if (a[j] < a[j-1]) {
int t = a[j-1];
a[j-1] = a[j];
a[j] = t;
}
这下面是 Pascal 的示范代码：
for i:=1 to n do
for j:=i downto 2 do
if a[j]<a[j-1] then
begin
t:=a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=t;
end;
为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：
H 老师给了一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，数组下标从 \(1\) 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 \(a\) 上的 \(Q\) 次操作，操作共两种，参数分别如下：
\(1~x~v\)：这是第一种操作，会将 \(a\) 的第 \(x\) 个元素，也就是 \(a_x\) 的值，修改为 \(v\)。保证 \(1 \le x \le n\)，\(1 \le v \le 10^9\)。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。
\(2~x\)：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 \(a\) 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 \(a\) 的第 \(x\) 个元素，也就是 \(a_x\)，在排序后的新数组所处的位置。保证 \(1 \le x \le n\)。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。
H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 \(1\) 的操作次数不超过 \(5000\)。
小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。
输入格式
第一行，包含两个正整数 \(n, Q\)，表示数组长度和操作次数。
第二行，包含 \(n\) 个空格分隔的非负整数，其中第 \(i\) 个非负整数表示 \(a_i\)。
接下来 \(Q\) 行，每行 \(2 \sim 3\) 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。
输出格式
对于每一次类型为 \(2\) 的询问，输出一行一个正整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3
样例输出 #1
1
1
2
提示
【样例解释 #1】
在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 \(3, 2, 1\)。
在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 \(3, 1, 2\)。
注意虽然此时 \(a_2 = a_3\)，但是我们不能将其视为相同的元素。
【样例 #2】
见附件中的 sort/sort2.in 与 sort/sort2.ans。
该测试点数据范围同测试点 \(1 \sim 2\)。
【样例 #3】
见附件中的 sort/sort3.in 与 sort/sort3.ans。
该测试点数据范围同测试点 \(3 \sim 7\)。
【样例 #4】
见附件中的 sort/sort4.in 与 sort/sort4.ans。
该测试点数据范围同测试点 \(12 \sim 14\)。
【数据范围】
对于所有测试数据，满足 \(1 \le n \le 8000\)，\(1 \le Q \le 2 \times {10}^5\)，\(1 \le x \le n\)，\(1 \le v,a_i \le 10^9\)。
对于所有测试数据，保证在所有 \(Q\) 次操作中，至多有 \(5000\) 次操作属于类型一。
各测试点的附加限制及分值如下表所示。
| 测试点 | \(n \le\) | \(Q \le\) | 特殊性质 |
|---|---|---|---|
| \(1 \sim 4\) | \(10\) | \(10\) | 无 |
| \(5 \sim 9\) | \(300\) | \(300\) | 无 |
| \(10 \sim 13\) | \(1500\) | \(1500\) | 无 |
| \(14 \sim 16\) | \(8000\) | \(8000\) | 保证所有输入的 \(a_i,v\) 互不相同 |
| \(17 \sim 19\) | \(8000\) | \(8000\) | 无 |
| \(20 \sim 22\) | \(8000\) | \(2 \times 10^5\) | 保证所有输入的 \(a_i,v\) 互不相同 |
| \(23 \sim 25\) | \(8000\) | \(2 \times 10^5\) | 无 |
算法分析
这是普及组第二题啊，啥时候普及组第二题也这么有难度了？我们来看100%的数据，即使回答是\(O(n)\)，时间复杂度是16亿，也不行，更何况排序的时间复杂度是\(O(nlogn)\)，根本过不去
我一直纠结在这个问题上，感觉这个题无解
但是这个题有一个非常重要的性质，保证修改的次数最多有5000次，但是看到这个性质的时候，第一想法就是询问次数这么多，时间复杂度太大了，但最终的答案是要利用这一个性质做文章，我们将之前的序列排好序，每次修改只会修改一个元素，我们只需要\(O(N)\)的给这个元素找好位置即可。使用冒泡排序的思想就可以，所以这样的时间复杂度是5000*8000，回答第二类询问的时候，只需要\(O(1)\)的回答即可。
当然，之前做这个题的时候，还有一个问题一直解决不了，我们使用\(w[i]\)表示第i个元素在新排序的数组中的位置，当我们在冒泡排序的时候，这个数组很难记录，当时没有想到结构体数组，我们使用结构体可以记录每个元素的值val和位置id，那么这样的话，id和val始终进行关联，同时我们也能很方便的记录\(W数组\)了
代码
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=8005;
int n,q,w[maxn];
struct Val{
int val,id;
}v[maxn];
bool cmp(Val a,Val b){
if(a.val==b.val) return a.id<b.id;
else return a.val<b.val;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&v[i].val);
v[i].id=i;
}
sort(v+1,v+1+n,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
w[v[i].id]=i;
}
for(int k=1;k<=q;k++){
int op,x,y;
scanf("%d",&op);
if(op==1){
scanf("%d%d",&x,&y);
int pos;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(v[i].id==x) {
v[i].val=y;
pos=i;
}
for(int i=pos;i>=2;i--){
if(v[i].val<v[i-1].val){
swap(v[i],v[i-1]);
continue;
}
if(v[i].val==v[i-1].val&&v[i].id<v[i-1].id){
swap(v[i],v[i-1]);
}
}
for(int i=pos;i<n;i++){
if(v[i].val>v[i+1].val){
swap(v[i],v[i+1]);
continue;
}
if(v[i].val==v[i+1].val&&v[i].id>v[i+1].id){
swap(v[i],v[i+1]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
w[v[i].id]=i;
}
}else{
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",w[x]);
}
}
return 0;
}
/**
5 20
1 4 9 5 6
1 2 10
1 3 2
2 2
2 3
1 4 1
2 4
2 3
2 2
2 5
1 4 12
2 4
2 3
2 1
1 1 19
2 3
2 1
2 4
1 1 1
2 3
2 2
*/