用于上行链路大规模 MIMO 系统的动态超表面天线
摘要：大规模多输入多输出（MIMO）通信是近年来人们广泛关注的焦点。虽然大规模 MIMO 的理论增益已经确立，但在实践中实现具有大规模天线阵列的 MIMO 系统仍具有挑战性。与大规模 MIMO 系统相关的实际挑战包括成本、功耗和物理尺寸的增加。在本文中，我们研究了使用动态超表面天线 (DMA) 实现大规模 MIMO 天线阵列，这是一种从本质上解决上述挑战的新兴技术。具体来说，DMA实现了大规模平面天线阵列，并且可以在物理天线结构中自适应地结合压缩和模拟组合等信号处理方法，从而降低成本和功耗。首先，我们提出了采用 DMA 的大规模 MIMO 系统的数学模型，并讨论了与理想天线阵列相比的限制。然后，我们描述了由此产生的系统的上行链路通信的基本限制，并提出了两种算法来设计实用的 DMA 以接近这些限制。我们的数值结果表明，所提出的方法可产生实用的大规模 MIMO 系统，其性能与理想天线阵列可实现的性能相当。
关键词——大规模 MIMO、超表面、天线设计
一、介绍
未来的无线系统需要支持越来越多的最终用户以及不断增长的吞吐量需求。近年来，人们对大规模多输入多输出 (MIMO) 系统的兴趣日益浓厚，其中基站 (BS) 配备了大型天线阵列，作为满足这些需求并提高频谱效率 (SE) 的方法。特别是，结果表明当使用足够多的天线时，可以通过随基站天线数量扩展的方式增加吞吐量[1]。
大规模 MIMO 系统在 SE 方面的理论优势已得到充分证实 [2]-[4]。然而，实现配备标准天线阵列的大规模 MIMO 基站并能够实现这些优势，仍然是一项非常具有挑战性的任务。特别是，实现大规模天线阵列时出现的一些困难包括成本高[5]、[6]、功耗增加[7]以及物理尺寸和形状受限[8]、[9]。为了解决这些困难，人们研究了几种信号处理方法。所提出的方法包括引入模拟组合来减小系统的尺寸和成本[5]、[10]；实施低分辨率量化和/或天线选择以降低功耗[7]、[11]–[15]；并利用高效功率放大器以降低峰值平均功率比[16]、[17]。尽管如此，所有这些方法都假设固定的最佳天线阵列，并试图从信号处理的角度解决这种天线阵列架构带来的困难。
在不断努力利用信号处理技术使大规模 MIMO 变得可行的同时，大量研究集中在为大规模 MIMO 系统设计实用的天线阵列 [8]、[9]、[18]、[19]。一种用于实现小物理尺寸的大规模天线阵列的新兴技术使用超材料辐射器代替传统辐射器。超材料天线由亚波长超材料辐射器阵列组成，由波导或空腔激励[20]。虽然由此产生的天线阵列通常表现出互耦合和频率选择性，但它们通过简化的硬件提供了相当的波束定制能力，与基于标准天线阵列的天线阵列相比，其使用的功率和成本要低得多[21]、[22]。此外，大量可调谐超材料天线元件可以封装在同一物理区域中，[9]，并且超表面可以实现平面天线，这使其成为支持 5G 无线网络增加的 BS 部署的一项有吸引力的技术 [23，第 2 节]。二]。之前大多数关于用于 MIMO 通信的超材料天线的工作都集中在设计物理天线结构和超材料基板以满足所需的要求，例如增益、带宽、效率和互相关水平 [9]、[18]、[19]、[ 24]。因此，最终的天线结构是固定的并且独立于发射和接收信号所经历的处理。[25]-[27]中提出了超表面作为反射元件而不是发射或接收天线的替代应用，作为提高无线通信网络能源效率的方案。
最近，动态超表面天线（DMA）被提出作为一种电调谐超材料天线物理特性的方法[20]、[28]、[29]。 DMA 本质上实现了波束成形、模拟组合、压缩和天线选择等信号处理技术，无需额外的硬件。通过将简单的固态可切换组件引入每个超材料元件并独立处理它们，这些功能可以变得可重新配置；即他们可以适应手头的任务或环境的变化。 DMA 的应用已被证明可以产生简单、快速、平面和低功耗的微波成像系统 [30]-[32]、雷达系统 [33]-[35] 和卫星通信 [21]。最近，人们提出并在数值模拟中演示了使用腔支持 DMA 作为生成所需模式以增强集群环境中 MIMO 通信容量的新方法 [36]。尽管如此，尽管 DMA 在结合信号处理和天线设计方面具有潜力，但其在实现大规模 MIMO 系统中的应用尚未得到研究。
在这项工作中，我们的目标是通过研究利用 DMA 的大规模多用户 MIMO 网络来填补这一空白。特别是，我们研究了上行链路可实现的性能，即当数据从用户终端（UT）传输到BS并且BS配备了实现大规模天线阵列的DMA时。 DMA 的应用产生了简化的硬件，该硬件本质上实现了模拟组合等信号处理技术，但受到超表面物理特性引起的特定约束。由此产生的结构可用于实现平面、紧凑、低成本和频谱高效的大规模MIMO BS。与标准模拟与传统天线阵列相结合不同，例如[5]、[10]，DMA 无需额外硬件即可实现可调节压缩。
我们提出了一种具有 DMA 的 MIMO 系统模型，该模型封装了先前提出的针对这些超表面的独特特性和约束的数学模型，例如每个超材料元件的频率响应 [20]、[37]、波导内部的传播 [20] ，以及由元件的亚波长间距引起的互耦合[34]、[38]、[39]。通过将 DMA 的这些既定特性集成到整个 MIMO 系统模型中，我们获得了等效通信信道，包括频率选择性和约束线性组合，可以使用信息论工具对其进行分析。我们的模型还量化了利用 DMA 的一些收益，表明与标准天线阵列相比，它们需要更少的 RF 链，从而降低了成本、内存要求和功耗。
接下来，我们关注无线信道频率平坦的场景，并且由超表面物理引起的频率选择性在所有辐射元件之间是相同的。然后，我们将分析扩展到具有任意频率选择性信道的一般场景超材料元件之间的频率选择性分布。对于每种场景，我们描述了网络中所有 UT 的最大可实现平均总速率，并将其与基本性能限制进行比较，这是在[40]中导出的频率选择性 MIMO 多址接入信道 (MAC) 的最大可实现总速率。并且需要理想的无约束天线阵列。我们表明，当通道频率平坦并且元件之间的频率选择性相同时，可以在 DMA 的配置中考虑其影响。因此，在此设置下，当DMA的数量不小于UT的数量时，基于DMA的天线阵列可以接近使用理想的无约束天线阵列可实现的基本性能极限。
对于每种场景，我们推导了一种交替优化算法，用于配置 DMA，以接近无约束天线阵列可实现的性能，同时考虑到超表面的具体特征。我们的数值分析表明，BS 使用 DMA 实现大规模天线阵列的大规模 MIMO 系统可实现的性能与信道的理论基本极限相当。这些限制可以使用无约束天线阵列来实现，与具有相同数量辐射器的 DMA 相比，这种天线阵列成本更高、需要更多功率并且物理尺寸更大。
本文的其余部分组织如下：第二节介绍 DMA 的数学公式，并定义使用 DMA 的上行链路多用户 MIMO 通信问题。第三部分描述了任何天线阵列可实现的基本性能限制，以及使用 DMA 时的性能限制，并推导了设计 DMA 以获得最佳性能的算法。第四节提供了模拟示例。最后，第五节总结了本文。结果的证明详见附录。
二、预备知识和问题表述
下面我们对 MIMO 通信场景中接收端使用时 DMA 的输入输出关系进行建模。该模型基于先前提出的 DMA 电磁特性数学模型，特别是基于文献 [20] 和 [34]。由此产生的模型的主要贡献在于它自然地集成到整个通信系统模型中，这将在下面的小节中讨论，允许将 DMA 的属性合并到从信息论角度分析易于处理的等效通道中，如下所示第三节。为了制定所考虑的设置，我们首先详细阐述超表面天线，并在第 II-A 小节中以数学方式表达 DMA 的输入输出关系。然后，我们在第 II-B 小节中介绍了带有 DMA 的大规模 MIMO 系统模型。最后，在 II-C 小节中，我们讨论可实现的平均总速率性能指标。
A、动态超表面天线
超材料是一类人造材料，其物理特性，特别是介电常数和磁导率，可以通过设计来表现出一系列广泛的所需特性[41]，[42]。超材料背后的基本思想是在宿主介质中引入定制的内含物以模拟所需的有效特性。这个概念后来扩展到表面配置（即“超表面”），其中表面有效参数被定制以实现传输、接收或反射波的所需变换[43]、[44]。最近，超表面已被实现为引导结构顶部的辐射层，形成“超表面天线”。在简单的配置中，超表面天线由微带组成，微带由多个亚波长、频率选择性谐振超材料辐射元件组成[28]。为了实现更大的天线阵列，可以将此类超表面天线平铺在一起以形成大型阵列。图 1 给出了这种阵列的图示。
图1 超表面示意图
在接收侧，每个微带向单个射频链供电，其数字输出是作为微带的每个超材料元件观察到的辐射的线性组合而获得的。这种线性组合是以下两种物理现象的结果：
①、超材料元件的频率响应：这种效应通常可以建模为带通滤波器，其品质因数通常约为 30 [45]，但也可以实现约 100 的更高品质因数 [28]。例如，在1.9 GHz的载波频率下，30 的品质因数将转化为 63 MHz 的带宽。在许多相关的通信场景中，这种响应可以被认为是频率平坦的，即超材料元件引起的增益对于所有考虑的频率范围都是相同的。需要强调的是，这并不意味着通信信道是频率平坦的，因为无线信道增益通常在该频段内随频率变化[46]。
②、微带内部的传播：这种现象的影响取决于元件沿波导（例如微带）的位置。特别地，通过令 rp,l 表示第 p 个微带上第 l 个元件的位置，βp 表示沿波导的波数，该波数通常大于自由空间波数 k，则波导内部传播的影响为频域与 e−jβp·rp,l 成正比。由于波数 βp 是频率的线性函数，因此这种效应会产生不可忽略的频率选择性。因此，我们今后在离散时域中将这种效应建模为具有有限脉冲响应 {hp,l[τ]}mhτ =0 的因果滤波器，其抽头为复值，即 hp,l[τ] ∈ C, a n d mh表示滤波器的记忆，即抽头数。
这里值得强调的是，为了简单起见，我们忽略了微带内部的元件间耦合。当超材料元件与导模弱耦合时，这种假设通常是有效的[20]。对于具有强耦合超材料元件的情况，可以使用耦合偶极子模型来包含这种耦合[38]。该模型及其对大规模 MIMO 系统的影响（如果有）超出了本文的范围，留待将来的工作。
我们现在可以用数学公式表达超表面天线的输入输出关系。考虑具有 K 个微带的超表面天线，每个微带由 L 个元素组成，并令 y[i] ∈ CK·L×1 为向量，使得 (y[i])(p−1)·L+l 表示观测到的辐射在时间索引 i 处的第 p 个微带线的第 l 个元件处。超表面天线在时间索引 i 的输出是向量 z[i] ∈ CK ，其条目可以写为
其中 p ∈ {1, 2, . 。 。 K}。图 2 描述了由单个微带引起的输入输出关系。值得注意的是，代表每个微带内部传播的滤波器 {hp,l[τ]} 不依赖于超材料元素{qp,l}，即，我们假设超材料元素不会扰动馈电波[20]。由于微带内元素的亚波长接近性，输入向量 y[i] 是空间相关的，即，其协方差矩阵是非对角的。因此，我们不假设特定的元素间距，并将产生的耦合合并到 y[i] 的一般协方差中。
图2 动态超表面微带模型
因此，多元过程 y[i] 和 z[i] 之间的关系可以写为
其中 {H[τ]}mhτ =0 是一组 N × N 对角矩阵，N = K·L，表示超表面的频率选择性，即(H[τ])(p−1)L+l,(p−1)L+l = hp,l[τ]，a n d Q是K × N 矩阵表示 DMA 的可配置权重。利用式(1)，我们可以写出
为了数学上的方便，假设系数{qp,l}是无单位的，即元素的极化率被归一化。虽然上面详细介绍的模型考虑了 DMA，其中辐射元件沿着一组一维微带放置，但它可以包含更广泛的二维 DMA 系列。事实上，任何每个元素连接到单个输出端口的二维 DMA 都可以通过 (2) 来表示，即修改权重矩阵 Q 的结构以表示结果元素互连。
DMA 将调谐机制集成到超表面天线的每个独立谐振器中 [29]。动态调谐增加了调整超材料元件属性的灵活性，即控制(1)中的系数{qp,l}的值。 {qp,l} 的可能值集（表示为 Q）表示洛伦兹共振响应 [20]，并且通常由以下形式之一的复平面 C 的子集组成 [20，第 2 节]。三]：
• 仅幅度，即对于某些实数非负a < b，Q = [a, b]。
• 二进制幅度，即对于某个固定的 c ∈ R+，Q = c · {0, 1}。
• 洛伦兹约束相位，即Q = {q = j+ejφ 2 : φ ∈ [0, 2π]}。
为了量化利用 DMA 的增益，我们接下来将这些天线架构与标准天线阵列进行比较。我们使用术语“标准阵列”来表示接收器能够直接处理观察到的向量 y[i] 的系统，这是 MIMO 通信文献中的常见模型，适用于传统 MIMO [47，第 1 章]。 7] 以及大规模 MIMO [2]–[4]。显然，基于 DMA 的天线阵列可实现的任何性能也可通过标准天线阵列实现，因为 z[i] 可以从 y[i] 获得，但反之则不然。然而，除非使用额外的射频链缩减硬件，例如后续讨论的模拟组合器，否则标准天线阵列需要将每个 K·L 辐射元件连接到射频链以及模数转换器(ADC)，而 DMA 需要单个 RF 链和每个微带的 ADC。请注意，RF 链硬件往往成本高昂 [6]，并且 ADC 通常是功耗 [7] 和内存使用 [48] 的主要来源。因此，与标准天线阵列相比，通过利用 DMA，所产生的成本、内存使用量和功耗降低了 L 倍 [36]。此外，DMA 可以实现平面天线阵列 [21]、[22]，并且与标准天线阵列不同，它们可以将更多数量的元件封装到给定的物理区域中 [9]。
我们注意到，减少 RF 链和 ADC 的数量也可以通过使用专用模拟组合硬件的标准天线阵列来实现，例如参见 [5]、[6]、[10]、[48]。然而，在存在标准天线阵列的情况下，模拟组合的代价是额外的硬件，这增加了整体尺寸和成本，特别是当模拟组合应该在运行时可调时。增加的成本和尺寸的确切值取决于模拟组合器的具体实现。 DMA 本身就可以在超表面的物理结构中实现可调节的模拟组合，而无需额外的硬件。具体来说，多个超材料辐射器直接由波导结构馈电，以简化馈电结构，避免使用可能更昂贵和复杂的射频电路。因此，DMA 被认为是一种具有简单、节能、低成本和薄型配置的辐射平台。此外，使用专用硬件实现的标准模拟组合通常受到与此处对 Q 施加的约束不同的约束。特别是，虽然在 DMA 中，权重矩阵 Q 必须遵循 (3) 中的结构，并且其条目必须位于上面定义的可行集 Q 中，但标准模拟组合器必须满足[6，第 2 节中详述的基于体系结构的约束。 II]，如常用的相移网络约束，即Q = {q ∈ C : |q| = 1}，或开关网络约束，其中 Q = {0, 1}。还注意到，当L = 1，Q = IK时，a n d {hp,l[τ]}为Kronecker delta函数，即每个微带实现单频平面天线，则z[i] ≡ y[i]，得到的 DMA 与标准天线阵列一致。然而，这种实现方式需要与标准阵列相同数量的 RF 链和 ADC，因此在成本、功耗和内存要求方面不会带来任何收益。最后，需要强调的是，虽然我们考虑具有频率平坦元件响应的 DMA，从而产生频率不变权重矩阵 Q，但可以将 DMA 设计为具有动态可调的频率选择权重。这可以通过沿微带使用具有不同谐振频率的元件并打开和关闭它们以实现所需的频率选择性响应来实现。虽然设计频率选择性 DMA 预计会比传统模拟组合器引入额外的潜在增益，但在 DMA 中可以实现的一组可能的频率选择性配置文件在很大程度上依赖于实现，因此，我们将其留待将来研究。
总而言之，DMA 实现了具有特定结构约束的天线阵列，代表了超表面的底层物理原理。这些限制包括由于微带内部的传播而对接收信号进行额外的滤波；由于亚波长元件间距造成的空间相关性；以及当信号在每个微带中组合时固有的可调节信号压缩。使用 DMA 作为天线阵列架构的好处是低成本、高功效以及物理形状和尺寸的灵活性。我们在下文中将利用大规模 MIMO 通信的另一个优势，即它们自然能够实现动态模拟组合形式，作为天线结构的组成部分，而无需额外的专用硬件。
B、系统模型
我们考虑非合作单小区多用户 MIMO 系统，重点关注上行链路。 BS配备有DMA，由K个微带线组成，每个微带线有L个元件，即BS使用的辐射元件总数为N？ K·L。BS服务的UT数量为U，假设不大于N。
设 {G[τ]}mg τ =0 b e a s e to of N × U 矩阵，表示从 UT 到 BS 的多径信道矩阵，其中 mg 表示离散时间信道传递函数的长度记忆，即抽头数为mg + 1, a n d mg = 0 意味着该通道是无记忆的。 BS 的通道输出被 i.i.d 具有协方差矩阵 CW 的零均值真复多元高斯噪声 w[i] ∈ CN所损坏。通过令 x[i] ∈ CU 为 UT 在时间索引 i 处的传输信号，BS 处的相应信道输出由下式给出
我们假设UT使用高斯码本，即x[i]是具有单位协方差矩阵的零均值高斯向量，并且BS具有完整的信道状态信息（CSI），即矩阵{G[τ]} mg τ =0 是BS已知的。
在BS处，DMA将接收到的信号y[i] ε CN转换为向量z[i] ε CK，该向量用于解码发送的信号。如第 II-A 小节中详述，y[i] 和 z[i] 之间的关系由 (2) 给出。请注意，超表面的频率选择性通过 {H[τ]}mhτ =0 进行建模。图 3 给出了说明。
图3 系统模型示意图
我们注意到，与将信道建模为无记忆的标准大规模 MIMO 文献（例如 [2]、[3]）不同，(4) 中的模型明确考虑了无线信道的频率选择性。 (4) 中的频率选择性 MIMO 模型（即不存在 DMA）用于点对点通信 [49]、MAC [40]、广播信道 [50] 和窃听信道 [51]。我们使用（4）中模型的动机源于这样一个事实：标准大规模 MIMO 无记忆模型是通过假设正交频分复用（OFDM）调制而获得的，其中子载波间隔小于信道的相干带宽，并且循环前缀长度大于多径抽头的数量 [47，Ch. 3]。然而，当存在超表面时，假设传输方案有效地消除了 DMA 引起的中等频率变化就不再合理了。因此，为了考虑 DMA 和无线信道的频率选择性，我们明确地将多径效应纳入 (4) 中的模型中
为了将 DMA 可实现的性能与理想无约束天线阵列可实现的性能进行比较，我们还考虑了 BS 基于无线信道 y[i]（而不是 z[i]）的输出对传输信号进行解码的情况。此场景此后称为最佳 MIMO。正如第 II-A 小节中所讨论的，最佳 MIMO 的最大 SE（频谱效率）不小于 DMA 可实现的最大 SE，因为 DMA z[i] 的输出可以从 y[i] 获得。由于相同数量元件的不同配置会导致信道输出的统计模型不同，为了保持公平比较，最佳 MIMO 设置中使用的 N 个元件之间的天线间距与 DMA 所使用的天线间距相同。在此设置下，产生的无线通道，即 x[i] 和 y[i] 之间的关系，与 DMA 设置中的相同。
我们的目标是表征所考虑的 DMA 系统与最佳 MIMO 情况相比可实现的性能，并提供配置 DMA 权重的指南，从而优化性能。在下一节中，我们正确定义今后使用的性能指标。
C、指标定义
为了严格制定本文中使用的性能指标，同时考虑 DMA 引起的频率选择性，我们提出了一组必要的定义，这些定义基于 [52，Ch.1]。 4]。我们从有限内存多用户通道的定义开始：
定义 1（具有有限内存的多用户 MIMO 通道）：具有有限内存的离散时间 N × U 多用户 MIMO 通道由一组 U 标量输入序列组成，通过多元序列 x[i] ∈ RU 表示， i ε N ，输出序列 y[i] ε RN ，i ε N ，有限维的初始状态向量 s0 ε S0 ，以及条件概率序列 ?p (yn|xn, s0) ?∞ n=0。
定义了具有有限内存的多用户 MIMO 信道后，我们现在可以介绍此类信道的代码定义：
定义2（多用户代码）： A ?{Rk}Uk=1,l?速率为 {Rk}Uk=1 且块长度 l ∈ N 的多用户代码包括： 1) U 个消息集 Uk ？ {1, 2, . 。 。 , 2lRk}，其中 k ∈ {1, 2, . 。 。 U}。
2) 一系列编码器 el,k，每个将消息 uk ∈ Uk 映射到码字 xl(uk) = ?x(uk) [1] , 。 。 。 , x(uk) [l] ?T , i 。 e. , el,k : Uk ?→ Rl。
通道输入为 x[i] = ?x(u1) [i] , 。 。 。 , x(uU ) [i] ?T 。
3) 解码器 dl，将通道输出 yl 映射到消息 ˆu1,...。 。 。 ˆuU，即 dl : RN×l ?→ U1 × · · · × UU。
编码器和解码器的操作与初始状态 s0 无关。
集合 ?xl(uk) ?2lRk u=1 被称为 ?{Rk}Uk=1 的第 k 个码本，l？代码。假设每个消息uk都是从Uk中统一选择的，当初始状态为s?0时，平均错误概率由[50, Sec.三]：
使用定义 2，我们现在可以正确地制定可实现的总速率的定义，此后将用作我们评估使用 DMA 运行的多用户 MIMO 网络的主要指标。
定义 3（可实现的平均总速率）：如果对于每个 ?1, ?2 > 0，存在一个正整数 l0 > 0，使得对于所有整数 l > l0，存在多用户代码，?{Rk}Uk=1, l?，满足（sup上界）
请注意，定义 3 中可实现的平均总速率是多用户 MIMO 信道的基本属性。事实上，对于给定的一组多用户编码器，最大化可实现的平均和速率的解码器通常实现联合解码[52，Ch.1]。 4]。此类解码器通常计算复杂，因此许多关于大规模 MIMO 的工作都集中在假设不太复杂的次优单独线性解码的情况下可实现的平均和速率，请参阅[2]-[4]。在这项工作中，我们重点关注使用 DMA 实现天线阵列，以期降低成本、尺寸和功耗。因此，我们对数字域中执行的处理和解码不施加任何限制，假设 BS 完全了解底层信道，并根据最大可实现的平均和速率来表征性能。需要强调的是，对于具有 DMA 的大规模 MIMO 基站来说，在计算复杂度限制下运行并获得准确的信道估计本身就是一项具有挑战性的任务。我们将高效解码和信道估计方案的设计，以及使用 DMA 时不准确的信道知识和硬件损伤对最终性能的影响进行分析，作为未来潜在的研究方向，扩展了当前的研究。
三、可实现的平均总速率
接下来，我们将研究可实现的平均总速率以及针对第 II-B 节中介绍的设置所产生的 DMA 配置。为了制定可实现的平均总速率，令 Γ(ω) 和 Σ(ω), ω ∈ [0, 2π) 分别表示 H[τ] 和 G[τ] 的离散时间傅立叶变换 (DTFT)。固定 DMA 权重矩阵 Q 的最大可实现平均和速率由以下定理表示：
定理 1：对于固定权重矩阵 Q，给出 (4) 和 (2) 中通道的最大可实现平均和速率经过
定理 1 通过将 DMA 操作合并为通道的一部分来表征最大可实现的总速率，并获得所得有限内存 MAC 的可实现总速率，如 [40] 中所示。定理 1 还可用于获得无线信道的基本性能限制，可通过最佳无约束天线阵列实现，如以下推论所述：
推论 1：定义 Σ(ω) ？ C−1/2 W Σ(ω)ΣH(ω)C−1/2 W ，并令 {λi(ω)}Ui=1 为其特征值，按降序排列 。最佳 MIMO 设置的最大可实现平均总速率由下式给出
证明：如第 II-A 小节所述，当 L = 1、Q = IK、a n d Γ(ω) ≡ IK 时，所得设置与最佳 MIMO 设置一致。将其代入(7)证明(8)。
当使用 DMA 时，我们注意到，由于积分运算和 Q 的结构约束，很难确定 DMA 权重矩阵 Q 使得 (7) 最大化。因此，为了设计 Q 并获得最终的 Rs，我们首先关注所有超表面元件表现出相同频率选择性分布且无线信道频率平坦的特殊情况。对于这种情况，我们在第 III-A 小节中推导了 Q 的选择，该选择最大化了可实现的总速率，忽略了第 II-A 小节中详细说明的结构约束。然后，在第 III-B 小节中，我们提出了一种用于配置实际受限 DMA 的迭代算法。最后，在第 III-C 小节中，我们展示了如何将这些设计原则扩展到任意频率选择性配置文件。
A、具有相同频率选择性的平坦通道的最佳权重
最大可实现的平均总速率和最大化(7)的相应权重配置Q通常难以计算。因此，我们将首先考虑特殊情况，其中所有超材料元件表现出相同的频率选择性分布，并且无线信道是频率平坦的。在此模型下，表示天线响应的多元滤波器 H[τ] 可以写为 H[τ] = Int · h[τ]，对于某些标量映射 h[τ]，a n d 多径信道由下式给出单击 G = G[0]，即 mg = 0。通过让 γ(ω) 为 h[τ] 的 DTFT，H[τ] 和 G[τ] 的多变量 DTFT 可写为 Γ(ω) ) = Int·γ(ω) 且 Σ(ω) = G。因此，(7) 中可实现的平均总速率由下式给出
为了找到使 (9) 最大化的 Q，我们定义 ～G ? C−1/2 W GGHC−1/2 W 。现在，我们在以下引理中表述 Rs 对 Q 的依赖性：
引理 1：定义 ~Q ? QC1/2 W 并令 V 为其右奇异向量矩阵。通过令 〜V 为由酉矩阵 V 的前 K 列组成的 N × K 矩阵，(9) 中可实现的和率可写为
证明：通过将 (9) 中的 Q 替换为 ～Q = QC1/2 W，可得出西尔维斯特行列式定理 [53，Ch.1]。 6.2]那
接下来，我们注意到〜QH？ ～Q ～QH ?−1 ～Q 是投影矩阵，因此可以写成 ～QH ? ～Q ～QH?−1 ～Q = ～V ～V H [53，Ch.1] 5.9]。将其代入(11)证明(10)。
引理 1 意味着可实现的平均和速率 Rs 仅通过 ~Q = QC1/2 W 的前 K 个右特征向量取决于权重矩阵 Q。如果我们忽略 Q 上的结构约束，则最大可实现的和率以及最大化 (11) 的 ∼V 的相应选择由以下推论给出：
推论 2：设 {λi}Ui=1 为 ～G 的特征值，按降序排列。然后，当 Q 可以是任何复数矩阵时，最大可实现的平均和速率由下式给出
通过将~V的列设置为对应于{λi}Ui=1的特征向量来实现速率ROD。
证明：推论直接从（11）得出。
注意，~G的非零特征值的数量等于它的rank，记为rank(~G)，其至多为U。因此从(12)可以得出，增加微带线K的数量将大于rank (~G) 对最优总速率 ROD 没有影响。特别是，将（12）与（8）中的基本限制进行比较，我们注意到当K≥rank（〜G）时，n个ROD达到基本限制ROMs。然而，由于每个微带线都需要单个 RF 链和 ADC，因此增加 K 会隐式增加最终系统的成本、功耗和内存要求。此外，通过让 ~U ~D ~V H 为最佳 ~Q 的紧致奇异值分解 (SVD)，从推论 2 可以得出，最大化 (9) 的权重矩阵可以写为
特别地，对于酉 K × K 矩阵 U 和具有正对角线项的对角 K × K 矩阵 D 的任何设置，(13) 中的矩阵最大化 (9)。
从 (13) 可知，最佳权重矩阵 QOD 实现以下处理：首先，它应用噪声白化滤波器，通过矩阵 C−1/2 W 建模。然后，它利用变换 〜V H 将输出投影到其噪声最小的 K×1 子空间中，该子空间由白化通道传输矩阵 C−1/2 W G 的最大奇异值确定，或者由 〜G 的最大特征值确定。 QOD 取决于信道和噪声统计的事实表明，重新配置模拟组合权重的能力（DMA 本质上支持这种能力）在无线通信中至关重要。最后，我们注意到，由矩阵 ~U、~D 确定的剩余可逆处理对最终的可实现速率没有影响，与数据处理不等式 [52，Ch.1] 一致。 2.3]。然而，在下面的小节中，我们将展示这些矩阵可用于通过可行的权重矩阵来促进 QOD 的近似，该权重矩阵满足 (3) 并且其条目属于 Q。
B、具有相同频率选择性的平坦通道的实用设计
推论 2 中最优和率的推导忽略了 Q 的结构约束，并假设右特征向量矩阵 V 可以是任何酉向量集。尽管如此，正如第 II-B 小节中问题表述中所详述的，Q 必须写成 (3) 中的形式，并且其系数 {qi,l} 应属于可行集 Q。因为找到最大化 ( 9）是一项艰巨的任务，我们建议将 Q 设置为在最小 Frobenious 范数意义上最接近无约束 QOD 的可行矩阵。在这里，如[10]、[54]中所示，我们利用 ROD 对于左奇异矩阵 U 和对角奇异值矩阵 D 的选择不变的事实，并且设置这些矩阵，使得到可行的 Frobenious 距离近似值被最小化。为了表述这个问题，我们让 QK×N 为 K × N 的集合，可以写成如（3）所示，其非零项属于可行集 Q。L e t U K 表示 K × K 酉集合矩阵，DK 是对角元素为正的 K ×K 对角矩阵的集合。
具体来说，我们修复了一些？ > 0 并限制 DK 中矩阵的对角线整体不小于 ?。我们将权重矩阵 Q 设置为以下方程的解：
设 PQ : CK×N ?→ QK×N 为 QK×N 的逐项投影。通过 (3) M ∈ CK×N 的逐项投影由下式给出
为了解决（14），我们基于以下引理中详细描述的属性提出了一种交替最小化算法：
引理 2：F 或任何 M ∈ CK×N 我们有
另外，对于任意 M 1, M 2 ∈ CK×N，令 t U M 和 V M 分别为 M 1M H2 的左奇异向量矩阵和右奇异向量矩阵，
最后，令 m1,i 和 m2,i 分别为 M H1 和 M H2 的第 i 列，i ∈ {1, 2, …。 。 。 K}，我们有对角线条目
证明：参见附录B。
基于引理2，我们建议以交替方式解决联合优化问题（14），即，针对固定的~U，~D对Q进行优化，接下来针对固定的Q，~D对~U进行优化，然后对~进行优化D 固定 Q，~U，并继续直至收敛。由此产生的交替最小化算法总结在算法 1 中。由于 (14) 中的 Frobenious 范数目标是可微的，因此保证了交替优化算法的收敛性 [56，Thm。 2]。
在算法 1 中，我们利用了这样一个事实，即对于 ～U、～D 的任何设置，最佳无约束 QOD 都能实现相同的总和率，并使用这些矩阵作为优化变量。因此，我们能够获得与最优无约束矩阵相差不远的可行权重矩阵。在第四节的数值研究中，我们证明配备有通过算法 1 设计的 DMA 的 BS 能够实现与信道基本极限相差不远的性能，而这可以使用最佳天线阵列来实现。此外，与无约束情况不同，当 Q ∈ QK×N 时，将微带 K 的数量增加到 U 以上会增加可实现的总速率，因为可以使用可行矩阵更好地近似得到的 QOD。
C、任意频率选择性的实用设计
在前面的小节中，我们研究了无线信道频率平坦且超材料元件表现出相同频率选择性分布的特殊情况，即对于某些标量映射 h，mg = 0 且 H[τ] = Int · h[τ] [τ]。在此设置下，我们能够用 (9) 中的单个 log-det 表达式来表达 (7) 中的积分，因为无线信道是无记忆的，并且 h[τ] 对传输信号的影响被其贡献抵消了到有效噪声。然而，无线信道通常是频率选择性的，并且在实际的超表面中，每个元件可以表现出不同的频率选择性分布。这里，频率选择性不能被有效地消除，并且必须考虑H[τ]的显式值。下面我们将展示如何将前面小节中提出的设计原则扩展到这种一般情况。
为此，我们固定一些正整数 B，并定义 ωi ? 2π·i B , i ∈ {1, 2, . 。 。 B}。我们现在可以将 (7) 近似为
请注意，随着 B 的增加，(16) 接近 (7) 中的实际总速率。接下来我们用单个 log-det 表达式来写 (16)，如 (9) 所示。为此，令 BlkDiag ?{Ai}Bi=1 ?是具有对角子矩阵{Ai}Bi=1的块对角矩阵，并定义B·N×B·N块对角矩阵G？ BlkDiag ?{Γ(ωi)Σ(ωi)}Bi=1 ?和 CW ？块诊断？ { γ ( ω i ) CW γ H ( ω i ) } Bi = 1 ? 。另外，定义 ¯Q ? IB ⊗ Q。使用这些符号，可以从[53，Pg.1]得出结论。 122]那
由于 |BlkDiag ?{Ai}Bi=1 ? | = ?B i=1 |Ai|当 Ai 是方阵时 [53，Pg. 467]，因此 (16) 可以被写作
(17) 中的近似意味着任意频率选择性下可实现的总速率的表达式与 (9) 中具有相同频率选择性和平坦通道的情况相似。因此，算法 1 中用于将 DMA 配置为最小化 (9) 的设计原理也可用于最小化 (17)。最小化（9）和（17）之间的主要区别在于，在（17）中，等效权重矩阵 ¯Q 必须写为 IB⊗Q，其中 Q ∈ QK×N 。这个额外的约束可以在交替最小化算法中使用以下引理来解释：
引理3：F或任意M ∈ CB·K×B·N，最小化的权重矩阵
证明：引理是通过在 (18) 中明确编写 Frobenious 范数获得的，注意到 Q 的每个元素通过 B 项的总和独立地影响整体范数，如引理中给出的。
请注意，对于 Q = C，QAM2 的非零条目由 M 中相应条目的样本均值给出。使用引理 3，我们现在可以调整算法 1 来考虑任意频率选择性分布，从而得到算法 2。
为了评估所得配置与最优性的差距，我们希望表征当 Q 可以是 CK×N 中的任何矩阵时可实现的最大和率，不限于满足（3）。由于(7)中的Q不随ω变化，因此获得最佳性能是一项困难的任务。尽管如此，（7）可用于获得最佳平均总速率的上限，如以下命题所述：
命题 1：如果对于每个 ω ∈ [0, 2π) 来说 Γ(ω) 都是非奇异的，那么最大可实现的平均和率的上限为
其中 {λi(ω)}Ui=1 在推论 1 中定义。
证明：参见附录C。
需要强调的是，（19）中的上限在实践中通常很难接近，因为它是通过允许 DMA 权重具有频率选择性来计算的，从而有效地消除了无线信道和不同元素的频率选择性。微带线。正如在我们的设计中，我们假设 DMA 权重不随频率变化一样，所得系统通常无法达到命题 1 中的界限。尽管如此，在第 IV 节的数值评估中，证明了利用通过算法 2 设计的实际 DMA 的 BS能够实现与（19）中的上限相当的性能。特别是，我们表明，当使用正确配置的 DMA 时，所得到的可实现的平均总速率与上限之间存在合理的差距，并且两条曲线在信噪比 (SNR) 方面的比例相似。
根据推论 2 的讨论中的论据，认为当 K 不小于每个 ω ∈ [0, 2π] 的 ～Σ(ω) 的秩时，则 (19) 中的上限与 ROM 的基本性能限制一致推论 1 中给出。
四、数值研究
在本节中，我们使用第 III 节中导出的 DMA 配置对可实现的性能进行数值评估。首先，在第 IV-A 小节中，我们考虑具有 DMA 的频率平坦通道，其中每个元件都表现出相同的频率选择性分布，并在数值上评估使用算法 1 中的 DMA 设计可实现的平均总速率。然后，在第 IV-B 小节中，我们研究具有 DMA 的频率选择性通道，其中每个元件都表现出不同的频率选择性，并计算使用算法 2 获得的 DMA 配置可实现的性能。
我们考虑丰富散射环境中的上行链路多用户 MIMO 小区。在此设置中，配备DMA的BS服务U = 1 0 UT，均匀分布在半径400 m的六边形小区中，BS周围半径20 m的圆除外。图 4 描述了此类系统的示例。我们使用 ρi 表示第 i 个 UT 与 BS 的距离。基于[57]中提出的频率选择性无线MIMO信道模型，忽略由于天线角度方向引起的信号衰减，信道传输矩阵{G[τ]}mg τ =0生成为G[τ] = σ2G[τ]Σ1/2 R GR[τ]D[τ]，其中
• {σ2G[τ]}mg τ =0 是每个抽头的相对路径损耗，由指数衰减曲线给出，即 σ2G[τ] = e−τ 。
• {GR[τ]}mg τ =0 是一组 i.i.d.具有独立同分布的真复零均值高斯 N × U 矩阵单位方差的整体。
• ΣR 是一个N × N，表示由每个微带中元件的亚波长间距引起的相关性。忽略不同微带线之间的耦合，我们设置 ΣR = IK ⊗ΣM ，其中 ΣM ∈ CL×L 模拟同一微带线元件之间引起的耦合。特别地，我们使用 Jakes 模型 2 来计算 ΣM 的元素间距为 0.2 波长的空间相关性，即 (ΣM )i,l = J0 ?0.4 · π · |i − l|?, i, l ∈ {1, 2、. 。 。 L}，其中 J0(·) 是第一类零阶贝塞尔函数 [58]。
• {D[τ]}mg τ =0 是代表衰减系数的U × U 对角矩阵，基于[2] 中使用的模型。
特别地，我们设置 (D[τ])i,i = ζi[τ ] ρ2i ，其中 h e r e {ζi[τ]} 是阴影衰落系数，从标准差为 8 dB 的对数正态分布中独立随机化。
图4 多用户网络
由于 DMA 微带中的辐射元件是亚波长分离的，因此加性噪声 w[i] 本质上是空间相关的。考虑到 DMA 元件之间的耦合，我们设置 CW = σ2W · ΣR，其中 ΣR 是表示由于上面定义的亚波长元件间距而产生的相关性的矩阵，并且 σ2W > 0 对噪声信号的平均功率进行建模。
下面我们对以下可实现的平均总速率进行数值评估：
• RUC - 无约束权重，即 Q = C。
• RAO - 仅幅度权重，此处 Q = [ 0.001, 5]。
• RBA - 二进制幅度权重，Q = {0, 0.1}。
• RLP - 洛伦兹约束相位，即Q = { j+ejφ 2 : φ ∈ [0, 2π]}。
为了将 DMA 可实现的性能与传统模拟组合（如 [5]、[6]、[10] 中所示）进行比较，我们还计算了使用具有 K 个 RF 链的标准模拟组合架构时的速率。特别地，我们模拟了一个全连接的相移网络（[6]中的架构A.1）和一个全连接的开关网络（[6] 中的 A.3结构），两者都是使用 MaGiQ 算法获得的 [10, Sec. V-A]。由此产生的可实现的平均总速率分别表示为 RAC 和 RSN 。由于现有的模拟组合设计工作假设无记忆通道3，因此我们仅针对 IV-A 小节中的频率平坦场景模拟这些设置。我们的结果是 1000 次蒙特卡洛模拟的平均值。
A、具有相同频率选择性的平坦通道
我们首先考虑通道频率平坦的情况，即 mg = 0，并且 DMA 中的每个元素都表现出相同的频率选择性分布，如第 III-A 和 III-B 小节中所研究的。在图中。在图5-6中，我们让定义为1/σ2W的SNR在[−5, 30] dB范围内变化。注意，这里的术语SNR仅指噪声的能量，并没有考虑信道引起的衰减，这取决于每个UT的位置的具体实现。由于生成的通道会引起严重的衰减，因此最终可实现的速率值明显小于先前相关工作中报告的值，例如[6]、[7]，其中SNR封装了通道衰减。还值得注意的是，在之前的工作 [6]、[7] 中，速率测量代表点对点 MIMO 通信中总体可实现的速率，而不是多用户 MIMO 网络可实现的平均总速率。可以视为总体可实现速率除以 UT 数量。对于每个 SNR 值，我们将使用 K = 1 0 微带线（每个微带线具有 L 个辐射元件）的 DMA 可实现的平均总速率（通过算法 1 计算）与通过推论 2 计算的最佳可实现性能 ROD 进行比较。在图 5 中，我们设置 L = 1 0，而在图 6 中，我们使用 L = 1 5。回想一下，由于 K ≥ U，那么，根据推论 2 后面的讨论，ROD 等于基本性能限制 ROM ，如推论1.观察图。如图 5-6 所示，我们注意到，当 L = 1 0 时，对于所有 SNR 值，RLP 都接近 RUC；当 L = 1 5 时，对于高于 15 dB 的 SNR，RLP 都接近 RUC。这表明，在使用算法 1 设计权重时，洛伦兹约束相位限制引起的损失可以忽略不计。仅幅度限制、二进制幅度约束、标准相移网络和标准开关网络都实现了大致相同的性能，这与使用洛伦兹约束相位权重可实现的性能相差不远。此外，通过限制权重矩阵以满足（3）（即DMA仅组合来自同一微带的输入的事实）而引起的SNR损失约为7dB。特别是，对于 L = 1 0，ROD 在没有结构约束 (3) 的情况下实现，在 17 dB 的 SNR 下实现了 0.1 bps/Hz 的平均和速率，而 RUC 在 24 dB 的 SNR 下实现了相同的性能。对于 L = 1 5，RODs = 0.1，SNR 为 20 dB，而 RUC 在 SNR 为 27 dB 时实现此总速率。此外，值得注意的是，两条曲线相对于 SNR 的比例相似，表明随着 SNR 的增加，使用最佳无约束天线阵列可实现的任何平均总速率也可使用实际 DMA 设置来实现。
图5 速率与SNR，平坦信道，L=10
图6 速率与SNR，平坦信道，L=15
接下来，如图。如图 7 所示，我们将 SNR 固定为 15 dB，天线数量固定为 N = 9 0，并计算 K ∈ [1, 18] 可实现的平均总速率。本研究的目的是从数值上评估微带线数量如何影响给定数量天线的性能。为了保证每个 K 值使用相同的通道和噪声统计数据，我们将耦合矩阵 ΣR 固定为 ΣR = I15 ⊗ ΣM ，其中 ΣM 是本节前面定义的 6 × 6 矩阵，表示单元耦合通过杰克斯的模型。观察图 7，我们再次注意到，对于大多数考虑的 K 值，使用实际 Lornetzian 约束相位权重方法可实现的性能是使用无约束权重实现的，其中 RLP 和无约束 RUC 之间的差距最多为 1.3 · 10−2 bps /赫兹。
图7 速率与微带数，平坦信道
正如预期的那样，对于 K = 1，仅受 (3) 影响的 RUCs 与最佳性能 RODs 一致，因为 (3) 对 K = 1 的权重矩阵结构没有施加任何约束。基于 DMA 的接收器与最佳 ROD 的性能差距取决于微带线的数量 K。例如，对于 K = 6，我们观察到 RLP = 1.5·10−2 bps/Hz，而 RAO 和 RBA 大约为1·10−2 bps/Hz，即与最佳性能 ROD = 5.5·10−2 的差距分别约为 4·10−2 bps/Hz 和 4.5·10−2 bps/Hz。随着 K 进一步增加，这种差距变得不那么占主导地位，并且对于所有考虑的基于 DMA 的接收器，当 K = 1 5 时，它会减少到大约 3.5 · 10−2 bps/Hz。此外，我们注意到，对于较小的 K 值，RODs 单调递增，并且对于 K > 3，其值保持恒定并等于通道的基本限制 ROMs 。这是因为，正如推论 2 之后的讨论中所指出的，当 K 大于 ~G 的秩时，ROD 保持恒定。我们的数值研究表明，对于所考虑的场景，〜G 的大多数实现最多有 3 个主要特征值。这种行为是由于衰减系数矩阵 D 的对角线条目（使用 [2] 的统计模型随机化）表现出显着的变化，因为位于距 BS 不同距离的 UT 可以观察到明显不同的衰减系数。因此，当 K > 3 时，ROD 保持恒定。由于随着 K 的减小，(3) 中对 RUC 的约束变得不那么显着，并且如图所示，RLPs 能够在这样的 SNR 下接近 RUC，因此可以看出从图7中可以看出，对于固定数量的元件N，当微带线K的数量增加时，RUC和RLP不一定都增加。
虽然图 7 中的结果可能有利于设置 K = 1 和 L = N，但实际上，增加单个微带上的元件数量会增加微带内信号传播引起的衰减。这里的模型没有考虑这种现象，该模型假设每个元件引起的衰减是相同的，因此图 7 中没有反映增加每个微带元件数量带来的额外损耗。这一观察结果还意味着，在在实际实现中，我们需要在成本（与射频端口数量或K成正比）、损耗（与超材料元件数量L成正比）和性能（与这两个数量相关）之间取得平衡。这项调查留待将来的工作进行。
我们还注意到，将权重限制为二进制值可实现与连续值幅度权重大致相同的性能，并且在这两种约束下，可实现的平均总速率随着 K 的增加而大幅增加，其中与最佳 MIMO R 的差距约为 6 ·10−2 bps/Hz，K = 1 至 3.5 ·10−2 bps/Hz，K = 1 8. 标准模拟组合网络 RAC 和 RSN，它们也取决于 K，因为它的值决定了 RF 链的数量，实现与具有连续值幅度权重的 DMA 大致相同的性能，其中移相器网络在 K < 9 时实现稍微更好的性能。
最后，我们在图 7 中观察到，当微带线数量 K 增加到U以上时，ROD 保持恒定，DMA 可实现的性能是单调递增的。这是因为，如第 III-B 小节所讨论的，增加微带线 K 的数量允许设计 (13) 中的矩阵 〜U 和 〜D，这对最终的最佳性能 ROD 没有影响，因此最终的 QOD 可以是使用可行的权重矩阵可以更好地近似。
本小节中给出的结果表明，对于频率平坦信道，配备 DMA 的 BS 可以实现与昂贵的最优无约束天线阵列相当的性能。此外，通过利用我们提出的交替优化算法，DMA 可实现的总速率并不小于甚至大于使用标准全连接模拟组合器实现的总速率（通过最先进的设计算法获得）。
B. 改变频率选择性
接下来，我们考虑更一般的设置，其中通道具有频率选择性，并且每个元件表现出不同的频率选择性分布。特别地，我们考虑具有两个抽头的通道，即 mg = 1, a n d s e t Γ(ω) = IK ⊗ ГG(ω)，其中 ГG(ω) ∈ CL×L 是表示单个频率选择性分布的对角矩阵微带线。基于第 II-A 节中详细介绍的模型，我们通过设置 (ΓG(ω))l,l = e−(α+j·β(ω) 来解释元件的频率响应和波导内部的传播)·l.特别地，我们设置 β(ω) = 1.592 · ω [m−1] 和 α = 0.0006 [m−1]，表示由 Duroid 5880 制成的特性阻抗为 50 欧姆的微带，工作频率为 1.9 GHz，元件间距为 0.2 波长（假设自由空间波长）[59，Ch. 3.8]。
图 8 描绘了在 K = 1 0 和 L = 1 0 的情况下，使用通过算法 2 配置的 DMA 可实现的平均总速率与 SNR 的关系。性能与理论极限 ROM 进行了比较。观察图 8，我们注意到，与上一小节中考虑的场景不同，这里对于所有考虑的可行集 Q，使用 DMA 可实现的性能大致相同。我们还注意到，DMA 可实现的性能与命题 1 中最大可实现性能的上限相比，在信噪比方面存在约 10 dB 的显着差距。差距的增加源于以下事实：如命题 1 的证明所示，ROM是通过减轻无线通道和超材料元件的频率选择性获得的。与第 IV-A 小节中考虑的情况不同，其结果如图 5 所示，这里由超表面物理引起的频率选择性不能通过正确设置系数矩阵 Q 来减轻，因此上限 ROM 与DMA 可实现的性能提高。尽管存在这种差距，但从图 8 中可以看出，就 SNR 而言，使用 DMA 可实现的性能与 ROM 的上限类似，这表明使用 DMA 可实现的性能与 ROM 相当。
图8 速率与SNR，频率选择性信道
图9 速率与微带数，频率选择性信道
最后，在图 9 中，我们描述了固定天线数量 N = 9 0 和 SNR 15 dB 时可实现的总速率与微带数量的关系。这些速率与理论极限 ROM 以及通过命题 1 计算的 DMA 性能上限进行比较，该上限与 K ≥ U 时的理论极限 ROM 一致。观察图 9，我们注意到，与所描述的结果不同图 7 考虑了类似的情况，但没有考虑微带线内部的信号传播，增加微带线的数量可以提高性能。这是因为增加每个微带尖端中的元件数量会引起额外的衰减，从而削弱 BS 从通道输出恢复消息的能力。从图 9 中还可以看出，对于所有 Q 设置，使用 DMA 可实现的性能大致相同，如图 8 中所示。事实上，二进制幅度设置相对简单，实现了与其他设置大致相同的性能，这使其成为未来实际实现研究的有吸引力的候选者。最后，我们注意到命题 1 的上限（通过让 DMA 权重具有频率选择性来计算）与固定权重可实现的实际总速率之间存在显着差距。这表明，通过设计每个元件的频率响应（在 DMA 权重中建模）以改变频率，可以在频率选择性通道中显着提高 DMA 可实现的性能，例如 [60]。我们将此类 DMA 的分析和设计留给未来的工作。
五、结论
在这项工作中，我们研究了大规模 MIMO 系统，其中 BS 的大规模天线阵列是使用 DMA 实现的。我们描述了最大可实现上行链路上的总速率的平均值，并导出了两种交替优化算法，用于设计实用的 DMA 以接近最佳性能：第一个算法是为频率平坦信道设计的，假设超表面引起的频率选择性在所有元件之间是相同的，第二个算法是为频率平坦信道设计的。该算法将第一个算法推广到任意多径信道和频率选择性分布。我们的结果说明了利用 DMA 实现紧凑型低成本、低功耗大规模 MIMO 系统相对于标准天线阵列的潜在增益。特别是，我们的模拟研究表明，通过适当调整 DMA 物理引起的固有组合和压缩，可以构建实用的大规模 MIMO 系统，该系统能够实现与基本理论极限相当的性能，而这需要昂贵的成本、功耗大、尺寸大的最优天线阵列。
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