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KDT学习笔记

时间：2023-09-03 16:24:52浏览次数：45  
标签：p2 Node p0 p1 const int 笔记 学习 KDT

这次稍微水了点。

todo：

  • 复杂度。
  • 不知道是否存在的二进制分组优化。

偏序问题

一般是 CDQ，常数小；或者可持久化，拿来做区间问题；万能的树套树，就是吃空间。

然后就是 KDT，多位偏序无脑叠，空间线性，时间……玄学。

有时也有更好的方法，比如用 std::bitset 优化偏序，不过量有限，而且我不会。

KDT

用于快速检索 k维信息。

做法类似二叉搜索树，把中位数放在中间再分左右子树，但是比较按不同维度轮着来，选维度可以按顺序或者取方差最大（划分更均匀）。

注意的是检索时，因为一次划分只确定一维，所以需要把整棵树遍历一遍，但是当然要去掉无用部分以及可以剪枝。

像二位数点的领域查询，可以最优性剪掉部分子树；矩阵查询把包含和无交剪掉，就是 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 的。

时间复杂度有保证的，一般就是 k维矩阵 查询，结论是最坏 \(\mathcal{O}(n^{1-\frac{1}{k}})\) 的，证明咕。

大概介绍完，谈一下实现。

图方便，下面这颗 KDT 是 Leafy 的（类线段树结构），实现的是矩阵查询。

粗略实现

先考虑离线建树，只需像线段树一样操作即可，注意维护子树上的矩阵信息（最值、和）。

注意要按当前维度划分，使用 std::nth_element 可以把元素放在指定的位置，这样建树的复杂度是 \(\mathcal{O}(n\lg n)\) 的。

具体用法是：std::nth_element(p+l,p+mid,p+r+1,cmp)，按照 cmp 排序后的 p 数组内第 mid 个元素会被放在 p[mid] 处，其他部分不定顺序。

查询无脑递归两边，遇到不合法的就剪枝。

大概有这样一颗支持建树、查询、清空、剪枝的 KDT：

template<int K,int N,typename _Val,typename _Tp,template<int,typename,typename> class _Cut>//最后这坨是模板模板参，不建议学……
class KDTree_base{
//Point 和 Node 都是用数组存的
protected:
	static _Cut<K,_Val,_Tp> cuter;
	Point<K,_Val,_Tp> *point;
	Node<K,_Val,_Tp> tr[N<<2];
	void pull(int p){
		for(int k=0;k<K;++k) tr[p].L[k]=std::min(tr[p<<1].L[k],tr[p<<1|1].L[k]);
		for(int k=0;k<K;++k) tr[p].R[k]=std::max(tr[p<<1].R[k],tr[p<<1|1].R[k]);
		for(int k=0;k<K;++k) tr[p].sum=tr[p<<1].sum+tr[p<<1|1].sum;
	}
	template<int k>
	void build(int p,int l,int r){
		if(l==r) return tr[p]=point[l],void();
		int mid=(l+r)>>1;
		std::nth_element(point+l,point+mid,point+r+1,cmp<k,K,_Val,_Tp>);
		build<turn<k,K>>(p<<1,l,mid),build<turn<k,K>>(p<<1|1,mid+1,r);
		pull(p);
	}
	void query(int p,Node<K,_Val,_Tp> &it){
		if(invalid(it,tr[p])||cuter.cut(tr[p],it)) return;//不合法
		if(contain(it,tr[p])) return it.sum+=tr[p].sum,void();//完全包含
		query(p<<1,it),query(p<<1|1,it);
	}
	void clear(int p,int l,int r){
		tr[p]=Node<K,_Val,_Tp>();
		if(l>=r) return;
		int mid=(l+r)>>1;
		clear(p<<1,l,mid),clear(p<<1|1,mid+1,r);
	}
public:
	KDTree_base(Point<K,_Val,_Tp> *_point):point{_point}{}
	void clear(int l,int r){clear(1,l,r);}
	void build(int l,int r){build<0>(1,l,r);}
	void query(Node<K,_Val,_Tp> &it){query(1,it);}
};
template<int K,int N,typename _Val,typename _Tp,template<int,typename,typename> class _Cut>
_Cut<K,_Val,_Tp> KDTree_base<K,N,_Val,_Tp,_Cut>::cuter;

插入

比较麻烦，因为插入多了不能做到划分均匀。

可以学替罪羊树，暴力重构，但是树高不能完全保证（见参考），会影响时间复杂度。

还可以学耗儿树，根号分治，不过是把插入存起来暴力查询。

具体的，设一个上限 \(B\)，插入 \(B\) 个数后重构整棵树，取 \(B=\sqrt{n\lg n}\) 可得复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n\lg n})\)，然后我没写过。

cmd 大佬介绍了另一种：开两颗 KDT,\(\sqrt{n}\) 个插入时并入小的，\(B\) 个插入时并入大的。

说法是 \(B=n^{\frac{3}{4}}\) 时取得重构复杂度为 \(\mathcal{O}(n^{\frac{5}{4}}\lg n)\)。

复杂度这块大概知道就行，我没算。

注意可以根据数据特征调大小。

用上一颗 KDT 实现的插入版本：

template<int K,int N,typename _Val=int,typename _Tp=int,template<int,typename,typename> class _Cut=None_Cut>
class KDTree{
protected:
	Point<K,_Val,_Tp> p[N];
	KDTree_base<K,N,_Val,_Tp,_Cut> T0;
	KDTree_base<K,int(ceil(pow(N,0.75))),_Val,_Tp,_Cut> T1;
	int p0,p1,p2;
public:
	KDTree():T0(p),T1(p),p0{},p1{},p2{}{}
	void clear(){
		T0.clear(1,p0),T1.clear(p0+1,p1);
		p0=p1=p2=0;
	}
	void insert(const std::initializer_list<_Tp> &d,_Val v){
		++p2;
		int k=0;
		for(auto it:d) p[p2].d[k++]=it;
		p[p2].v=v;
		if(1ll*(p2-p1)*(p2-p1)>p2*1.25) T1.build(p0+1,p1=p2);
		else if(p1-p0>1.2*pow(p2,0.75)) T0.build(1,p0=p1),T1.build(p0+1,p1=p2);
	}
	_Val query(const std::initializer_list<_Tp> &L,const std::initializer_list<_Tp> &R){
		Node<K,_Val,_Tp> qry={};
		int k=0;
		for(auto it:L) qry.L[k++]=it;
		k=0;
		for(auto it:R) qry.R[k++]=it;
		T0.query(qry),T1.query(qry);
		for(int i=p1+1;i<=p2;++i)
			if(contain(qry,Node<K,_Val,_Tp>(p[i]))) qry.sum+=p[i].v;
		return qry.sum;
	}
};

一道题

万恶之源。

15s 的时限，在 QOJ 上暴力乱杀，HDU 正解 TLE……

不会写四毛子也不想被卡常，所幸这个题也算是个矩阵查询的多维偏序。

所以把求和改成最值，套板子就行了。

注意当心清空：

//不剪枝 15s 跑满，剪完只跑了 7s。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define memcpy __builtin_memcpy
#define pow __builtin_pow
#define ceil __builtin_ceil
namespace KD_Tree{
	template<int K,typename _Val,typename _Tp>
	struct Point{
		_Tp d[K];
		_Val v;
	};
	template<int k,int K,typename _Val,typename _Tp>
	static bool cmp(const Point<K,_Val,_Tp> &x,const Point<K,_Val,_Tp> &y){return x.d[k]<y.d[k];}
	template<int K,typename _Val,typename _Tp>
	struct Node{
		_Tp L[K],R[K];
		_Val sum;
		Node():L{},R{},sum{}{}
		Node(const Point<K,_Val,_Tp> &p):sum{p.v}{memcpy(L,p.d,sizeof L),memcpy(R,p.d,sizeof R);}
	};
	template<int K,typename _Val,typename _Tp>
	bool contain(const Node<K,_Val,_Tp> &p,const Node<K,_Val,_Tp> &q){
		for(int k=0;k<K;++k) if(!(p.L[k]<=q.L[k]&&q.R[k]<=p.R[k])) return false;
		return true;
	}
	template<int K,typename _Val,typename _Tp>
	bool invalid(const Node<K,_Val,_Tp> &p,const Node<K,_Val,_Tp> &q){
		for(int k=0;k<K;++k) if(q.L[k]>p.R[k]||q.R[k]<p.L[k]) return true;
		return false;
	}
	template<int K,typename _Val,typename _Tp>
	struct None_Cut{bool cut(const Node<K,_Val,_Tp> &p,const Node<K,_Val,_Tp> &qry)const{return false;}};
	template<int k,int K>
	static constexpr int turn=k+1==K?0:k+1;
	template<int K,int N,typename _Val,typename _Tp,template<int,typename,typename> class _Cut>
	class KDTree_base{
	protected:
		static _Cut<K,_Val,_Tp> cuter;
		Point<K,_Val,_Tp> *point;
		Node<K,_Val,_Tp> tr[N<<2];
		void pull(int p){
			for(int k=0;k<K;++k) tr[p].L[k]=std::min(tr[p<<1].L[k],tr[p<<1|1].L[k]);
			for(int k=0;k<K;++k) tr[p].R[k]=std::max(tr[p<<1].R[k],tr[p<<1|1].R[k]);
			for(int k=0;k<K;++k) tr[p].sum=tr[p<<1].sum+tr[p<<1|1].sum;
		}
		template<int k>
		void build(int p,int l,int r){
			if(l==r) return tr[p]=point[l],void();
			int mid=(l+r)>>1;
			std::nth_element(point+l,point+mid,point+r+1,cmp<k,K,_Val,_Tp>);
			build<turn<k,K>>(p<<1,l,mid),build<turn<k,K>>(p<<1|1,mid+1,r);
			pull(p);
		}
		void query(int p,Node<K,_Val,_Tp> &it){
			if(invalid(it,tr[p])||cuter.cut(tr[p],it)) return;
			if(contain(it,tr[p])) return it.sum+=tr[p].sum,void();
			query(p<<1,it),query(p<<1|1,it);
		}
		void clear(int p,int l,int r){
			tr[p]=Node<K,_Val,_Tp>();
			if(l>=r) return;
			int mid=(l+r)>>1;
			clear(p<<1,l,mid),clear(p<<1|1,mid+1,r);
		}
	public:
		KDTree_base(Point<K,_Val,_Tp> *_point):point{_point}{}
		void clear(int l,int r){clear(1,l,r);}
		void build(int l,int r){build<0>(1,l,r);}
		void query(Node<K,_Val,_Tp> &it){query(1,it);}
	};
	template<int K,int N,typename _Val,typename _Tp,template<int,typename,typename> class _Cut>
	_Cut<K,_Val,_Tp> KDTree_base<K,N,_Val,_Tp,_Cut>::cuter;
	template<int K,int N,typename _Val=int,typename _Tp=int,template<int,typename,typename> class _Cut=None_Cut>
	class KDTree{
	protected:
		Point<K,_Val,_Tp> p[N];
		KDTree_base<K,N,_Val,_Tp,_Cut> T0;
		KDTree_base<K,int(ceil(pow(N,0.75))),_Val,_Tp,_Cut> T1;
		int p0,p1,p2;
	public:
		KDTree():T0(p),T1(p),p0{},p1{},p2{}{}
		void clear(){
			T0.clear(1,p0),T1.clear(p0+1,p1);
			p0=p1=p2=0;
		}
		void insert(const std::initializer_list<_Tp> &d,_Val v){
			++p2;
			int k=0;
			for(auto it:d) p[p2].d[k++]=it;
			p[p2].v=v;
			if(1ll*(p2-p1)*(p2-p1)>p2*1.25) T1.build(p0+1,p1=p2);
			else if(p1-p0>1.2*pow(p2,0.75)) T0.build(1,p0=p1),T1.build(p0+1,p1=p2);
		}
		_Val query(const std::initializer_list<_Tp> &L,const std::initializer_list<_Tp> &R){
			Node<K,_Val,_Tp> qry={};
			int k=0;
			for(auto it:L) qry.L[k++]=it;
			k=0;
			for(auto it:R) qry.R[k++]=it;
			T0.query(qry),T1.query(qry);
			for(int i=p1+1;i<=p2;++i)
				if(contain(qry,Node<K,_Val,_Tp>(p[i]))) qry.sum+=p[i].v;
			return qry.sum;
		}
	};
}
constexpr int N=5e4+5,Inf=0x3f3f3f3f;
struct Val{
	int v;
	Val():v{}{}
	Val(int _v):v{_v}{}
	Val operator+=(const Val &it){return v=std::max(v,it.v),*this;}
	Val operator+(const Val &it){return Val(std::max(v,it.v));}
};
template<int K,typename _Val,typename _Tp>
struct Cut{bool cut(const KD_Tree::Node<K,_Val,_Tp> &p,const KD_Tree::Node<K,_Val,_Tp> &qry)const{return p.sum.v<qry.sum.v;}};
KD_Tree::KDTree<5,N,Val,int,Cut> kdt;
int n;
Val dp[N];
void solve(){
	kdt.clear(),std::scanf("%d",&n);
	for(int k=1;k<=n;++k){
		int w,g,i,f,l,v;
		std::scanf("%d%d%d%d%d%d",&w,&g,&i,&f,&l,&v);
		dp[k].v=kdt.query({0,0,0,0,0},{w,g,i,f,l}).v+v;
		std::printf("%d\n",dp[k].v);
		kdt.insert({w,g,i,f,l},dp[k]);
	}
}
signed main(){
	int Test;
	std::scanf("%d",&Test);
	for(;Test--;) solve();
	return 0;
}

End

参考：

cmd 的博客（典中典）

OI-wiki（评论部分也很有价值）

标签：p2,Node,p0,p1,const,int,笔记,学习,KDT
From： https://www.cnblogs.com/LQ636721/p/17675087.html

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