又名优先队列
堆由完全二叉树构成，其每个节点都有一个键值，且每个节点的键值都大于等于/小于等于其父亲的键值
每个节点的键值都大于等于其父亲键值的堆叫做小根堆，否则叫做大根堆。STL 中的 priority_queue 其实就是一个大根堆
我们模拟的是小根堆，下标从1开始
1是根节点，令\(x\)的左儿子为\(2x\)，\(x\)的右儿子为\(2x+1\)。则一个点u的父节点为n / 2
当修改或插入一个节点后，值可能不适合当前位置，则需要上移up(x)或下移down(x)
操作：
- 插入一个数（插入最后面）
heap[++size] = x; up(size)
- 求集合中的最小值
heap[1]
- 删除最小值
用整个堆的最后的元素覆盖根元素，再down()
heap[1] = heap[size]; size–; down(1);
- 删除任意元素（STL无法直接实现）
heap[k] = heap[size]; size--; down(k); up(k);
- 修改任意元素（STL无法直接实现）
heap[k] = x; down(k); up(k);
down()模板
void down(int u) { // 核心思就是判断u是否小于左右儿子
int t = u;
if (u * 2 <= sizen && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
if (u * 2 + 1 <= sizen && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
if (t != u) {
swap(h[t], h[u]);
down(t);
}
}
up()模板
void up(int u) {
while (u / 2 && h[u / 2] > h[u]) {
swap(h[u / 2], h[u]);
u /= 2;
}
}
构造堆数组模板\(O(n)\)
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
sizen = n;
for (int i = n / 2; i; i--) down(i);
修改或删除第k个插入的元素则需要创建两个数组记录元素映射关系
int hp[N]; //存放堆中点的插入次序
int ph[N]; //存放第k个插入点的下标
void heap_swap(int a, int b) {
swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);
swap(hp[a], hp[b]);
swap(h[a], h[b]);
}
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int h[N]; //堆
int ph[N]; //存放第k个插入点的下标
int hp[N]; //存放堆中点的插入次序
int cur_size; //size 记录的是堆当前的数据多少
//这个交换过程其实有那么些绕 但关键是理解 如果hp[u]=k 则ph[k]=u 的映射关系
//之所以要进行这样的操作是因为 经过一系列操作 堆中的元素并不会保持原有的插入顺序
//从而我们需要对应到原先第K个堆中元素
//如果理解这个原理 那么就能明白其实三步交换的顺序是可以互换
//h,hp,ph之间两两存在映射关系 所以交换顺序的不同对结果并不会产生影响
void heap_swap(int u,int v)
{
swap(h[u],h[v]);
swap(hp[u],hp[v]);
swap(ph[hp[u]],ph[hp[v]]);
}
void down(int u)
{
int t=u;
if(u*2<=cur_size&&h[t]>h[u*2]) t=u*2;
if(u*2+1<=cur_size&&h[t]>h[u*2+1]) t=u*2+1;
if(u!=t)
{
heap_swap(u,t);
down(t);
}
}
void up(int u)
{
if(u/2>0&&h[u]<h[u/2])
{
heap_swap(u,u/2);
up(u>>1);
}
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
int m=0; //m用来记录插入的数的个数
//注意m的意义与cur_size是不同的 cur_size是记录堆中当前数据的多少
//对应上文 m即是hp中应该存的值
while(n--)
{
string op;
int k,x;
cin>>op;
if(op=="I")
{
cin>>x;
m++;
h[++cur_size]=x;
ph[m]=cur_size;
hp[cur_size]=m;
//down(size);
up(cur_size);
}
else if(op=="PM") cout<<h[1]<<endl;
else if(op=="DM")
{
heap_swap(1,cur_size);
cur_size--;
down(1);
}
else if(op=="D")
{
cin>>k;
int u=ph[k]; //这里一定要用u=ph[k]保存第k个插入点的下标
heap_swap(u,cur_size); //因为在此处heap_swap操作后ph[k]的值已经发生
cur_size--; //如果在up,down操作中仍然使用ph[k]作为参数就会发生错误
up(u);
down(u);
}
else if(op=="C")
{
cin>>k>>x;
h[ph[k]]=x; //此处由于未涉及heap_swap操作且下面的up、down操作只会发生一个所以
down(ph[k]); //所以可直接传入ph[k]作为参数
up(ph[k]);
}
}
return 0;
}