【剑指Offer】46、圆圈中最后剩下的数

题目描述：

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)。

解题思路：

本题就是著名的约瑟夫（Josephuse）环的问题，对于这个有名的算法问题，程序员应该不陌生，这里我们给出两种比较经典的解法。

方法一：用环形链表模拟圆圈。这实际上是一个比较直观的解法，既然题目中有一个数字圆圈，用一个数据结构来模拟游戏过程是一个比较自然的想法。而在数据结构中，比较合适的是用环形链表，因为涉及到结点的删除和顺序进行查找的操作。

方法二：递推公式法。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：

例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？

变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。

递推公式：

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

举例：

编程实现（Java）：

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        /*
        著名的约瑟夫环问题
        f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n;
        */
        if(n<1 || m<1)
            return -1;
        int last=0; //n=1时为0
        for(int i=2;i<=n;i++){
            last=(last+m)% i;
        }
        return last;
    }
}