对于个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)。定义 \(z[i]\) 表示 \(s\) 和 \(s[i,n-1]\)（即以 \(s[i]\) 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度。\(z\) 被称为 \(s\) 的 Z 函数。这里注意，在 Z 函数中，\(z[0] = 0\)，但是根据 LCP 的定义，\(z[0] = n\)，具体应该为何值，根据题目意思来判断。本文更偏向根据 LCP 的定义来确定 \(z[0]\) 的值
演示
对于字符串 \(\texttt{aaaaaaaba}\)，它的 Z 函数是这样的。
\[z(\texttt{aaaaaaaba}) = \left [9, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1 \right ] \]过程
我们设现在 \(i + z[i] - 1\) 的最大值为 \(r\)，得到这个最大值的 \(i\) 为 \(l\)。
假设我们现在要求 \(z[x]\)，\(z[0, x - 1]\) 已经求出来了，现在，让我们分类讨论各种情况。
-
当 \(x \le r\) 时
如图所示，
因为 \(s[l, r]\) 等于 \(s[0, r - l]\)，所以 \(s[l, x] = s[0, x - l]\)，对应到下图，就是绿色区域和黄色区域相同。
因此，\(z[x]\) 的取值可以参考 \(z[l - x]\)。
\(z[x]\) 可以直接等于 \(z[l - x]\) 吗？
显然是不行的，像下面的情况，灰色区域为 \(z[l - x]\) 的长度，但是，对于 \(x\)，有一小段的灰色区域超出了红色区域，因此不保证这段灰色区域与前面灰色区域的对应位置相等，所以，我们正确的写法应该是 \(z[x] = \min \{z[l - x], r - x + 1 \}\)，随后再暴力拓展。
-
当 \(x > r\) 时
没有“前车之鉴”，我们直接进行暴力拓展即可。
代码中的 \(i\) 就是 \(x\)。
if (i <= r) {
z[i] = min(z[i - l], 1ll * r - i + 1);
}
暴力拓展 + 修改 \(l, r\)
注意要判断边界，同时判断 \(x + z[x] - 1\) 与 \(r\) 的大小更新 \(l, r\)，相信你可以看懂这段代码。
while (i + z[i] < len and s[z[i]] == s[i + z[i]]) {
++ z[i];
}
if (i + z[i] - 1 > r) {
l = i;
r = i + z[i] - 1;
}
拼凑一下，就是 Z 函数（或者是扩展 KMP）的代码了。
void Z(char* s, ll* z) {
int len = strlen(s), l = 0, r = 0;
rep (i, 1, len - 1, 1) {
if (i <= r) {
z[i] = min(z[i - l], 1ll * r - i + 1);
}
while (i + z[i] < len and s[z[i]] == s[i + z[i]]) {
++ z[i];
}
if (i + z[i] - 1 > r) {
l = i;
r = i + z[i] - 1;
}
}
}
匹配所有子串
为了避免混淆，我们将 \(t\) 称作 文本，将 \(p\) 称作 模式。所给出的问题是：寻找在文本 \(t\) 中模式 \(p\) 的所有出现。
为了解决该问题，我们构造一个新的字符串 \(s = p + \diamond + t\)，也即我们将 \(p\) 和 \(t\) 连接在一起，但是在中间放置了一个分割字符 \(\diamond\)（我们将如此选取 \(\diamond\) 使得其必定不出现在 \(p\) 和 \(t\) 中）。
首先计算 \(s\) 的 Z 函数。接下来，对于在区间 \([0,\left |t \right | - 1]\) 中的任意 \(i\)，我们考虑以 \(t[i]\) 为开头的后缀在 \(s\) 中的 Z 函数值 \(k = z[i + \left |p \right | + 1]\)。如果 \(k = \left |p \right |\)，那么我们知道有一个 \(p\) 的出现位于 \(t\) 的第 \(i\) 个位置，否则没有 \(p\) 的出现位于 \(t\) 的第 \(i\) 个位置。
其时间复杂度（同时也是其空间复杂度）为 \(O(\left |t \right | + \left |p \right |)\)。
// 匹配 A 在 B 中的所有出现
void Z(char* s, ll* z) {
int len = strlen(s), l = 0, r = 0;
rep (i, 1, len - 1, 1) {
if (i <= r) {
z[i] = min(z[i - l], 1ll * r - i + 1);
}
while (i + z[i] < len and s[z[i]] == s[i + z[i]]) {
++ z[i];
}
if (i + z[i] - 1 > r) {
l = i;
r = i + z[i] - 1;
}
}
}
void get_ext() {
strcpy(p, b);
strcat(p, "#");
strcat(p, a);
Z(p, z);
}
P5410 【模板】扩展 KMP（Z 函数） - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
//The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))
template<typename T>
inline T read() {
T x = 0;
bool fg = 0;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
fg |= (ch == '-');
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return fg ? ~x + 1 : x;
}
const int N = 2e7 + 5;
ll z[N << 1];
char a[N], b[N], p[N << 1];
void input() {
scanf("%s", a);
scanf("%s", b);
}
void Z(char* s, ll* z) {
int len = strlen(s), l = 0, r = 0;
rep (i, 1, len - 1, 1) {
if (i <= r) {
z[i] = min(z[i - l], 1ll * r - i + 1);
}
while (i + z[i] < len and s[z[i]] == s[i + z[i]]) {
++ z[i];
}
if (i + z[i] - 1 > r) {
l = i;
r = i + z[i] - 1;
}
}
}
void get_ext() {
strcpy(p, b);
strcat(p, "#");
strcat(p, a);
Z(p, z);
}
void solve() {
int lenz = strlen(b);
int lenext = strlen(p);
ll ans = 0;
z[0] = lenz;
rep (i, 0, lenz - 1, 1) {
ans = ans ^ ((i + 1) * (z[i] + 1));
}
cout << ans;
putchar('\n');
ans = 0;
rep (i, lenz + 1, lenext - 1, 1) {
ans = ans ^ ((i - lenz) * (z[i] + 1));
}
cout << ans;
putchar('\n');
}
int main() {
input();
get_ext();
solve();
return 0;
}
字符串整周期
给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，找到其最短的整周期，即寻找一个最短的字符串 \(t\)，使得 \(s\) 可以被若干个 \(t\) 拼接而成的字符串表示。
考虑计算 \(s\) 的 Z 函数，则其整周期的长度为最小的 \(n\) 的因数 \(i\)，满足 \(i+z[i]=n\)。
题目
P7114 [NOIP2020] 字符串匹配 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
求出每个位置的 Z 函数，通过判断 \((AB)\) 个数的奇偶来计算出现奇数次字符的个数，用树状数组维护。
//The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))
#define lowbit(x) (x & (-x))
template<typename T>
inline T read() {
T x = 0;
bool fg = 0;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
fg |= (ch == '-');
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return fg ? ~x + 1 : x;
}
const int N = 2e6 + 5;
int T, n, all, prefix, suffix;
int pre[30], nxt[30], Z[N], t[30];
char s[N];
void input() {
scanf("%s", s);
}
void exkmp() {
int l = 0, r = 0;
rep (i, 1, n - 1, 1) {
if (i <= r) {
Z[i] = min(Z[i - l], r - i + 1);
}
while (s[i + Z[i]] == s[Z[i]] and i + Z[i] < n) {
++ Z[i];
}
if (i + Z[i] - 1 > r) {
r = i + Z[i] - 1;
l = i;
}
}
Z[0] = n;
}
void modify(int x) {
while (x <= 27) {
++ t[x];
x += lowbit(x);
}
}
int query(int x) {
int ans = 0;
while (x) {
ans += t[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
void deal() {
n = strlen(s);
memset(pre, 0, sizeof pre);
memset(nxt, 0, sizeof nxt);
memset(Z, 0, sizeof Z);
memset(t, 0, sizeof t);
all = prefix = suffix = 0;
exkmp();
rep (i, 0, n - 1, 1) {
if (i + Z[i] == n) {
-- Z[i];
}
}
rep (i, 0, n - 1, 1) {
++ nxt[s[i] - 'a'];
}
rep (i, 0, 25, 1) {
if (nxt[i] & 1) {
++ all;
}
}
suffix = all;
ll ans = 0;
rep (i, 0, n - 1, 1) {
if (nxt[s[i] - 'a'] & 1) {
-- suffix;
} else {
++ suffix;
}
-- nxt[s[i] - 'a'];
if (pre[s[i] - 'a'] & 1) {
-- prefix;
} else {
++ prefix;
}
++ pre[s[i] - 'a'];
if (i != 0 && i != n - 1) {
int t = Z[i + 1] / (i + 1) + 1;
ans += 1ll * (t / 2) * query(all + 1) + 1ll * (t - t / 2) * query(suffix + 1);
}
modify(prefix + 1);
}
cout << ans << '\n';
}
void solve() {
T = read<int>();
while (T --) {
input();
deal();
}
}
int main() {
solve();
return 0;
}