标签：背包 const int max 汇总 第一节 cin 物品 main
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背包问题
- 动态规划思路：
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状态表示 f(i, j)
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状态计算
- 集合的划分 f(i, j)
- 不含第i个物品
- 包含第i个物品
- f(i - 1, j - vi) 已知第i个物品必选，那么只要保证前i-1个物品为最大值
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01背包
- 每件物品最多取一次
- 朴素代码：
const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N], v[N], w[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
//f[1~n][0] = f[0][1~m] = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
for(int j = 1; j <= m; ++ j){ //遍历容量
f[i][j] = f[i - 1][j]; //不选第i个物品
if(j >= v[i])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); //选第i个物品
}
cout << f[n][m];
return 0;
}
- 优化：
- 用滚动数组优化
- 因为第i层总是由第i-1层来更新，不会用到1~i-2层，因此只用一维数组f[N]即可自我更新,f[j]表示不超过容量j的最大价值
- 第i个物品不取，第i层与第i-1层的总价值不变，因此可以不用更新，\(f[i][j] = f[i - 1][j]\) 这句话可删去
- 第i个物品取，因此要用i-1层更新第i层，\(f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])\) 并且总是用小容量的价值更新大容量的价值，若从小往大更新，那么小容量的价值优先被更新到第i层，大容量的价值依据小容量的价值更新时，使用的价值不再是第i-1层，所以容量要从大往小更新
- 代码：
const int N = 1e3 + 10;
int f[N], v[N], w[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
//f[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
for(int j = m; j >= v[i]; -- j) //从小往大遍历容量
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); //选第i个物品
cout << f[m];
return 0;
}
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完全背包
- 每件物品可取无限次
- 朴素代码：
const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N], w[N], v[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
for(int j = 1; j <= m; ++ j) //遍历容量
for(int k = 0; k * v[i] <= j; ++ k) //遍历个数
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[n][m];
return 0;
}
- 时间优化：
- \(f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - v] + w,f[i-1][j-2v]+2w,f[i-1][j-3v]+3w,...,f[i-1][j-kv]+kw)\)
- \(f[i][j-v]=max(f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v]+w,f[i-1][j-3v]+w,...,f[i-1][j-kv]+(k-1)w,f[i-1][j-(k+1)v]+kw)\)
- 发现: \(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w)\)
- 代码：
const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N], w[N], v[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
for(int j = 1; j <= m; ++ j){ //遍历容量
f[i][j] = f[i - 1][j]; //第i个物品不选
if(j >= v[i])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);//第i个物品选
}
cout << f[n][m];
return 0;
}
- 时空优化：
- 滚动数组优化
- 代码：
const int N = 1e3 + 10;
int f[N], w[N], v[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; ++ i) //遍历物品
for(int j = v[i]; j <= m; ++ j) //遍历容量
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m];
return 0;
}
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多重背包
- 每件物品可取有限次
- 朴素代码：
const int N = 110;
int f[N][N], v[N], w[N], s[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
for(int j = 1; j <= m; ++ j)
for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; ++ k)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[n][m];
return 0;
}
- 空间优化：
- 滚动数组优化
- 代码：
const int N = 110;
int f[N], v[N], w[N], s[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
for(int j = m; j >= v[i]; -- j)
for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; ++ k)
f[j] = max(f[j], f[j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[m];
return 0;
}
- 二进制优化：
- 将每个物品取的次数分为若干组，各组为1，2，4，8....2^k，c 的二进制数，在组中任意选取若干组，每组看作新的物品只能选一次，所有的次数都能由这几组二进制数表示，由于每组只能选一次，故化为01背包问题
- 代码：
const int N = 2e4 + 500;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
int cnt = 0; //记录物品个数
while(n -- ){
int V, W, S;
cin >> V >> W >> S;
int k = 1; //记录分解后每个物品的次数
while(k <= S){ //将数量S分解
cnt ++ ; //每次分解个数加一
w[cnt] = W * k;
v[cnt] = V * k;
S -= k;
k *= 2;
}
if(S > 0){ //剩余次数
cnt ++ ;
w[cnt] = W * S;
v[cnt] = V * S;
}
}
n = cnt; //01背包问题
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
for(int j = m; j >= v[i]; -- j)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m];
return 0;
}
-
分组背包
- 每个组里面最多选一件物品
- 朴素代码：
const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N];
int f[N][N];
int s[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
cin >> s[i];
for(int j = 1; j <= s[i]; ++ j)
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
for(int j = 1; j <= m; ++ j){
f[i][j] = f[i - 1][j]; //该组不选物品
for(int k = 1; k <= s[i]; ++ k){ //该组选物品
if(j >= v[i][k])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}
//或者
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
for(int k = 1; k <= s[i]; ++ k)
for(int j = 1; j <= m; ++ j){
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
if(j >= v[i][k])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
}
- 空间优化：
const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N];
int f[N];
int s[N];
int n, m;
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
cin >> s[i];
for(int j = 1; j <= s[i]; ++ j)
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
for(int j = m; j >= 1; -- j)
for(int k = 1; k <= s[i]; ++ k)
if(j >= v[i][k])
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
cout << f[m];
return 0;
}
标签：背包,
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max,
汇总,
第一节,
cin,
物品,
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From： https://www.cnblogs.com/moilip/p/17629199.html