思路来自 这里。
\(\operatorname{fib}(1)=\operatorname{fib}(2)=1,\operatorname{fib}(n)=\operatorname{fib}(n-1)+\operatorname{fib}(n-2),n\ge 3\)
那么：
\(\sum\limits_{i=1}^n \operatorname{fib}^2(i)=\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\)
可以考虑一下几何意义证明，\(n\) 个正方形拼成一个大矩形。
代数：
\[\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\\ =\operatorname{fib}(n)[\operatorname{fib}(n)+\operatorname{fib}(n-1)]-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\\ =\operatorname{fib}^2(n) \]累加即可。
\(\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{fib}^2(i)\operatorname{fib}(i+1)=\frac{\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\operatorname{fib}(n+2)}{2}\)
这个也是可以证明的，同样利用立体几何法：
图片请勿自行转载，转载请标明出处
利用了 \(\operatorname{fib}(n)=2\operatorname{fib}(n-2)+\operatorname{fib}(n-3)\)。
依次在 左，后，下，左，后，下……放长方体即可。
代数：
\[\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\operatorname{fib}(n+2)-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\ =\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)[2\operatorname{fib}(n)+\operatorname{fib}(n-1)]-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\ =2\operatorname{fib}^2(n)\operatorname{fib}(n+1) \]累加即可。
标签：fib,--,sum,斐波,zhengjun,那契,operatorname From： https://www.cnblogs.com/A-zjzj/p/17618972.html