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1)FHQ-Treap 基本功能理论与实现
不同于经典的基于左旋、右旋的 Treap,FHQ-Treap 是基于分裂与合并的的一种 Treap。虽然两者操作方式完全不同,但产生的结果是一样的。而且,FHQ-Treap 具有好写(打板子超快)、好理解(左旋右旋我到现在还没搞明白)以及可持久化、区间翻转、移动等等一大坨优点。
接下来会详细介绍 FHQ-Treap。
1.1)FHQ-Treap 模型
首先,它是一个 Treap;其次,它是一个基于分裂+合并的 Treap。
比如,可以通过创建一个只有根节点的 Treap,然后再和原来的 Treap 合并,这就是插入节点。
再比如,可以通过分裂开 Treap,把某个节点分离开,合并其他的节点,这就是删除节点。
……如此好用、好理解的 FHQ-Treap 如何实现呢?
Treap 的话就不多说了,可以参考上面的博客;那么如何在分裂+合并操作中维护这个 Treap 呢?
众所周知,Treap 要维护的无非两点:
-
键值(key),满足 \(左儿子键值 \leq 该节点键值 \leq 右儿子键值\)
-
优先级(pri),满足 \(左儿子优先级或右儿子的优先级 \leq 该节点的优先级\)
我们需要在分裂操作与合并操作中根据这两点对 Treap 进行维护(因为其他操作都建立在这两个操作上)。
我们定义一个结构体,记录 Treap 上每个点的信息。
struct Node {
int lsn,rsn;
int key,pri,siz;
};
int tSize=0,root=0;
Node treap[MS];
其中 tSize
是节点个数,root
是 Treap 的根。这里使用了数组的方式存储 Treap。
1.2)操作一:分裂(Split)
Split 需要考虑四个参数,分别是当前遍历到的节点、分裂的标准、传递回的两棵树的根。
一般,Split 都是讲某个 Treap 分裂成一个小于等于某值的 Treap,一个大于该值的 Treap。
void split(int u,int x,int &L,int &R);
其中很妙的一点,\(L\) 与 \(R\) 都传递了它的地址,即可通过该操作修改某个 Treap 的左子树、右子树信息或传递回分裂开的两个 Treap 的编号。这一点在后面的应用中十分重要。
那么如何分裂呢?
(这里分裂的操作并不用到优先级,节点上的值都是键值)
很明显的可以看出:
-
当目前枚举到的 Treap 的根要小于等于分裂标准时,其左子树都必然小于等于分裂标准,只用考虑右子树;
-
反之,当目前 Treap 的根要大于分裂标准是,其右子树必然都大于分裂标准,只用考虑左子树。
所以,代码就很明显了:
void split(int u,int x,int &L,int &R) {
if(u==0) {
L=R=0;
return ;
}
if(treap[u].key<=x) L=u,split(treap[u].rsn,x,treap[u].rsn,R);
else R=u,split(treap[u].lsn,x,L,treap[u].lsn);
updateRoot(u);
return ;
}
由于 Split 的时间复杂度就是树高,所以它的期望时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\log_2^n)\)
1.3)操作二:合并(Merge)
划重点:Merge 的性质:Merge 要满足合并的两个 Treap (用根 L 与 R 表示),L 中的值都小于等于 R!
合并的时候,就要考虑优先值了。先比较两颗 Treap 的根节点的优先值大小。如果 L 大,把 R 合并到 L 的右子树上去;否则,把 L 合并到 R 的左子树上去(因为 L 中的值都小于 R)。最终,Merge 要返回合并后的根。
int merge(int L,int R) {
if(L==0||R==0) return L+R;
if(treap[L].pri>treap[R].pri) {
treap[L].rsn=merge(treap[L].rsn,R);
updateRoot(L);
return L;
}
else {
treap[R].lsn=merge(L,treap[R].lsn);
updateRoot(R);
return R;
}
}
顺便说一下 updateRoot
。用来更新某个节点为根的 Treap 的大小(求排名什么的要用到)。
void updateRoot(int u) {
treap[u].siz=treap[treap[u].lsn].siz+treap[treap[u].rsn].siz+1;
return ;
}
同上,期望时间复杂度 \(\mathcal{O}(\log_2^n)\)
\(P.S.\) 到目前为止,FHQ-Treap 最难的部分都已经被你搞明白啦!剩下的都很简单的啦!
1.4)操作三:插入新节点
这很简单,首先创建一个只有一个节点的 Treap:
void makeNewNode(int x) {
++tSize;
treap[tSize].siz=1;
treap[tSize].lsn=treap[tSize].rsn=0;
treap[tSize].key=x,treap[tSize].pri=rand();
return ;
}
再把这个 Treap 合并到大 Treap 上:(注意 Merge 的性质,所以要先分裂)
int insert(int x) {
int L,R;
split(root,x,L,R);
makeNewNode(x);
root=merge(merge(L,tSize),R);
return tSize;
}
1.5)删除某个节点
这里假设只删除一个与查询的值相通的节点。
先分裂出一颗全是要删除的值的 Treap,然后把这个 Treap 的左子树与右子树进行合并(把根丢掉),实现该操作。
int delNum(int x) {
int L,M,R;
split(root,x,L,R);
split(L,x-1,L,M);
M=merge(treap[M].lsn,treap[M].rsn);
root=merge(merge(L,M),R);
return root;
}
当然,如果你要一次性删除所有值为 \(x\) 的节点,可以这么写:
int delNum(int x) {
int L,M,R;
split(root,x,L,R);
split(L,x-1,L,M);
root=merge(L,R);
return root;
}
1.6)查询某个值的排名
不说了,把小于 \(x\) 的分裂出来,它的大小加一。
int getRank(int x) {
int L,R,res;
split(root,x-1,L,R);
res=treap[L].siz+1;
root=merge(L,R);
return res;
}
1.7)查询排名为 \(k\) 的值
很好理解。
int kth(int u,int k) {
if(k==treap[treap[u].lsn].siz+1) return u;
if(k<=treap[treap[u].lsn].siz) return kth(treap[u].lsn,k);
return kth(treap[u].rsn,k-treap[treap[u].lsn].siz-1);
}
1.8)查询 \(x\) 的前驱与后继
见代码。
// 前驱
int precursor(int x) {
int L,R,res;
split(root,x-1,L,R);
res=treap[kth(L,treap[L].siz)].key;
root=merge(L,R);
return res;
}
// 后继
int successor(int x) {
int L,R,res;
split(root,x,L,R);
res=treap[kth(R,1)].key;
root=merge(L,R);
return res;
}
1.9)End of this unit
以上就是所有 FHQ-Treap 的基本操作,接下来讲几个应用。
2)FHQ-Treap 的应用
2.1)洛谷 P3369
不说,套板子:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int MS=100005;
struct Node {
int lsn,rsn;
int key,pri,siz;
};
int tSize=0,root=0;
Node treap[MS];
void makeNewNode(int x) {
++tSize;
treap[tSize].siz=1;
treap[tSize].lsn=treap[tSize].rsn=0;
treap[tSize].key=x,treap[tSize].pri=rand();
return ;
}
void updateRoot(int u) {
treap[u].siz=treap[treap[u].lsn].siz+treap[treap[u].rsn].siz+1;
return ;
}
void split(int u,int x,int &L,int &R) {
if(u==0) {
L=R=0;
return ;
}
if(treap[u].key<=x) L=u,split(treap[u].rsn,x,treap[u].rsn,R);
else R=u,split(treap[u].lsn,x,L,treap[u].lsn);
updateRoot(u);
return ;
}
int merge(int L,int R) {
if(L==0||R==0) return L+R;
if(treap[L].pri>treap[R].pri) {
treap[L].rsn=merge(treap[L].rsn,R);
updateRoot(L);
return L;
}
else {
treap[R].lsn=merge(L,treap[R].lsn);
updateRoot(R);
return R;
}
}
int insert(int x) {
int L,R;
split(root,x,L,R);
makeNewNode(x);
root=merge(merge(L,tSize),R);
return tSize;
}
int delNum(int x) {
int L,M,R;
split(root,x,L,R);
split(L,x-1,L,M);
M=merge(treap[M].lsn,treap[M].rsn);
root=merge(merge(L,M),R);
return root;
}
int getRank(int x) {
int L,R,res;
split(root,x-1,L,R);
res=treap[L].siz+1;
root=merge(L,R);
return res;
}
int kth(int u,int k) {
if(k==treap[treap[u].lsn].siz+1) return u;
if(k<=treap[treap[u].lsn].siz) return kth(treap[u].lsn,k);
return kth(treap[u].rsn,k-treap[treap[u].lsn].siz-1);
}
int precursor(int x) {
int L,R,res;
split(root,x-1,L,R);
res=treap[kth(L,treap[L].siz)].key;
root=merge(L,R);
return res;
}
int successor(int x) {
int L,R,res;
split(root,x,L,R);
res=treap[kth(R,1)].key;
root=merge(L,R);
return res;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
while(n--) {
int opt,x;
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1) insert(x);
if(opt==2) delNum(x);
if(opt==3) printf("%d\n",getRank(x));
if(opt==4) printf("%d\n",treap[kth(root,x)].key);
if(opt==5) printf("%d\n",precursor(x));
if(opt==6) printf("%d\n",successor(x));
}
return 0;
}
END
还有几个应用没更新……我懒狗,等以后吧
标签:return,treap,int,root,Treap,详解,merge,FHQ From: https://www.cnblogs.com/TimelessWelkinBlog/p/17610065.html