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查找(4)

时间:2023-08-05 19:00:44浏览次数:39  
标签:node index keys 关键字 查找 key 节点

多路查找树

多路查找树(Multway Search Tree)是一种高级的树形数据结构,它
允许每个节点有多个子节点(通常大于等于2)。多路查找树的每个节点
可以存储多个关键字和对应的值。

分类

2-3树(2-3 Tree):
2-3树是一种最简单的多路查找树,每个节点可以存储1个或2个关键字,
并有2个或3个子节点。
2-3树的特点是所有叶子节点都在同一层,且根节点到每个叶子节点的
路径长度相等,保持树的平衡性。

B-树(B-tree):
B-树是一种平衡的多路查找树,每个节点可以存储多个关键字,并有相
应数量的子节点。
B-树的特点是节点的关键字按照升序排列,具有高度平衡的特性,主要
用于在磁盘等外部存储设备中高效存储和检索数据。

B+树(B+ tree):
B+树是B-树的一种变种,在B-树的基础上做了一些优化,特别适合于范
围查询和顺序访问。
B+树的特点是只有叶子节点存储了真实数据,而内部节点仅用于索引,
叶子节点通过指针连接形成一个链表,方便范围查询。

B树(B-tree):
B*树也是B-树的一种变种,与B+树类似,它在B-树的基础上做了一些改
进。
B*树通过在非叶子节点中存储部分关键字,扩大了节点的使用率,减少
了磁盘访问次数,并提高了空间和时间的效率。

Trie树(字典树或前缀树):
Trie树是一种特殊的多路查找树,在处理字符串和前缀匹配的情况下非
常有用。
Trie树的特点是每个节点代表一个字符,从根节点到叶子节点的路径可
以表示一个完整的字符串。

除此以外,还有如2-3-4树、2-3-4-树、B*+树等。每种多路查找树在
平衡性、存储结构、查询性能等方面可能有所不同,选择合适的多路查
找树取决于应用需求和数据特点。对于大规模的外部存储数据,B-树和
B+树是常见的选择;对于高效的字符串匹配和前缀查询,Trie树是一种
有效的数据结构。

详细介绍

查找(4)_多路

2-3树(2-3 Tree)

2-3树是一种平衡的多路查找树,每个节点可以存储1个或2个关键字,并有2个
或3个子节点。以下是关于2-3树的详细介绍:

查找(4)_查找树_02

结构特点:
2-3树由节点组成,每个节点可以存储1个或2个关键字,这些关键字按升序排列。
每个节点有2个或3个子节点,对应于存储的关键字个数。
所有叶子节点都在同一层,且根节点到每个叶子节点的路径长度相等,保持树的
平衡性。
插入操作:
1、当要插入一个关键字时,从根节点开始,判断关键字应插入的位置。
2、如果节点已满(即已有两个关键字),则需要进行节点分裂操作。将中间较
	大的关键字移动到上一层的父节点,并将两个剩余的关键字分别创建为新的
	子节点。
3、如果节点还没有满,则直接将关键字插入到正确的位置。

查找(4)_多路_03

删除操作:
当要删除一个关键字时,从根节点开始,找到包含该关键字的节点。
	如果该节点是叶子节点,直接删除关键字即可。如果该节点是内部节点,有
		几种情况需要处理:
	如果该节点有2个关键字,则可以直接删除关键字,不需要做其他操作。
	如果该节点有1个关键字:
	如果其兄弟节点有2个关键字,则可以借用兄弟节点的一个关键字,并进行
		相关的调整。
	如果其兄弟节点也只有1个关键字,则需要进行合并操作,将关键字和子节
		点合并到一起。
查询操作:
2-3树的查询操作与二叉查找树类似,从根节点开始,根据关键字的大小比较,
向左或向右子节点递归查询,直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。
强调
2-3树的特点在于其每个节点可以存储多个关键字,这样可以减少树的高度,提
供更高效的搜索和插入操作。它保持了树的平衡性,且所有叶子节点都在同一层,
这样可以保证较为平衡的查询性能。然而,2-3树的实现和维护操作较为复杂,
导致其并不常用,更常见的是其变种B-树和B+树,它们在2-3树的基础上进行了
一些优化和改进。
Java代码实现
// 2-3树的节点类
class Node {
    private int[] keys;  // 节点的关键字
    private Node[] children;  // 子节点数组
    private int size;  // 节点包含的关键字数量
    private boolean isLeaf;  // 是否为叶子节点

    public Node(boolean isLeaf) {
        this.keys = new int[3];
        this.children = new Node[4];
        this.size = 0;
        this.isLeaf = isLeaf;
    }

    // 从节点中查找关键字的位置
    public int findKey(int key) {
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            if (keys[i] == key) {
                return i;
            } else if (keys[i] > key) {
                return -1;
            }
        }
        return -1;
    }

    // 在节点中插入关键字
    public void insertKey(int key) {
        if (size == 0) {
            keys[0] = key;
            size++;
        } else {
            int i = size - 1;
            while (i >= 0 && keys[i] > key) {
                keys[i + 1] = keys[i];
                i--;
            }
            keys[i + 1] = key;
            size++;
        }
    }

    // 在节点中删除关键字
    public void deleteKey(int key) {
        int index = findKey(key);
        if (index != -1) {
            for (int i = index; i < size - 1; i++) {
                keys[i] = keys[i + 1];
            }
            size--;
        }
    }

    // 获取节点的关键字数量
    public int getSize() {
        return size;
    }

    // 判断节点是否为叶子节点
    public boolean isLeaf() {
        return isLeaf;
    }

    // 获取节点指定位置的子节点
    public Node getChild(int index) {
        return children[index];
    }

    // 设置节点指定位置的子节点
    public void setChild(int index, Node child) {
        children[index] = child;
    }
}

// 2-3树类
class TwoThreeTree {
    private Node root;

    public TwoThreeTree() {
        root = null;
    }

    // 在2-3树中插入关键字
    public void insert(int key) {
        if (root == null) {
            root = new Node(true);
            root.insertKey(key);
        } else {
            Node newNode = insertKey(root, key);
            if (newNode != null) {
                Node oldRoot = root;
                root = new Node(false);
                root.setChild(0, oldRoot);
                root.setChild(1, newNode);
                root.insertKey(newNode.keys[0]);
                root.insertKey(oldRoot.keys[0]);
            }
        }
    }

    // 在给定的节点中插入关键字
    private Node insertKey(Node node, int key) {
        if (node.isLeaf()) {
            node.insertKey(key);
            if (node.getSize() > 2) {
                return splitLeaf(node);
            }
        } else {
            int i = node.getSize() - 1;
            while (i >= 0 && key < node.getChild(i).keys[0]) {
                i--;
            }
            Node newNode = insertKey(node.getChild(i + 1), key);
            if (newNode != null) {
                node.insertKey(newNode.keys[0]);
	}

B-树(B-tree)

B-树(B-tree)是一种平衡的多路查找树,广泛应用于在磁盘等外部存储设备中
高效地存储和检索大量数据。以下是关于B-树的详细介绍:

查找(4)_查找树_04

结构特点:
B-树由节点组成,每个节点可以存储多个
关键字,这些关键字按升序排列。
B-树的特点是节点的关键字按升序排列,具有高度平衡的特性。
每个节点通常有多个子节点,最多可以拥有m个子节点,其中m称为B-树的阶数。
插入操作:
1、当要插入一个关键字时,从根节点开始,判断关键字应插入的位置。
2、如果节点已满,则需要进行节点分裂操作。将中间位置的关键字提升为父节
	点,并将节点分裂为两个节点,将剩余的关键字均匀分配到这两个节点中。
3、如果要插入的节点还没有满,则直接将关键字插入到合适的位置。
删除操作:
1、当要删除一个关键字时,从根节点开始,找到包含该关键字的节点。
2、如果该节点是叶子节点,直接删除关键字即可。如果该节点是内部节点,需
	要找到其前驱或后继关键字来替代删除的关键字。
3、在删除操作后,如果节点中的关键字数量过少,则需要进行节点合并或者从
	兄弟节点中借用关键字来保持树的平衡。
查询操作:
B-树的查询操作与二叉查找树类似,从根节点开始,根据关键字的大小比较,
向左或向右子节点递归查询,直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。

查找(4)_子节点_05

强调
B-树适用于大规模数据存储和查询的场景,尤其是需要在外部存储设备上进行操
作的情况。B-树的高度平衡保证了较为均衡的查询性能,因为从根节点到叶子节
点的路径长度相等或差别不大。B-树的阶数m可以根据具体应用和硬件限制来选
择,通常情况下,较大的阶数有助于减少磁盘访问的次数,提高效率。

B-树的变种B+树在B-树的基础上做了一些优化,将所有数据存储在叶子节点中,
使得范围查询和顺序访问更加高效。因此,在现代数据库系统和文件系统中,
B+树更加常见和广泛应用。
代码实现
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

class BMinusTreeNode {
    public boolean isLeaf; // 是否是叶子节点
    public List<Integer> keys; // 节点中存储的关键字
    public List<BMinusTreeNode> children; // 节点的子节点

    public BMinusTreeNode() {
        keys = new ArrayList<>();
        children = new ArrayList<>();
    }
}

class BMinusTree {
    private BMinusTreeNode root;
    private int t; // B-树的阶数

    public BMinusTree(int degree) {
        root = new BMinusTreeNode();
        root.isLeaf = true;
        t = degree;
    }

    public void insert(int key) {
        // 根节点满了就分裂
        if (root.keys.size() == (2 * t)) {
            BMinusTreeNode newRoot = new BMinusTreeNode();
            newRoot.children.add(root);
            splitChild(newRoot, 0, root);
            root = newRoot;
        }
        insertNonFull(root, key);
    }

    private void insertNonFull(BMinusTreeNode node, int key) {
        int index = node.keys.size() - 1;
        if (node.isLeaf) {
            while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
                index--;
            }
            node.keys.add(index + 1, key);
        } else {
            while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
                index--;
            }
            index++;
            if (node.children.get(index).keys.size() == (2 * t)) {
                splitChild(node, index, node.children.get(index));
                if (node.keys.get(index) < key) {
                    index++;
                }
            }
            insertNonFull(node.children.get(index), key);
        }
    }

    private void splitChild(BMinusTreeNode parent, int index, BMinusTreeNode node) {
        BMinusTreeNode newNode = new BMinusTreeNode();
        newNode.isLeaf = node.isLeaf;
        parent.keys.add(index, node.keys.get(t - 1));
        parent.children.add(index + 1, newNode);
        for (int i = t; i < 2 * t - 1; i++) {
            newNode.keys.add(node.keys.get(i));
        }
        if (!node.isLeaf) {
            for (int i = t; i < 2 * t; i++) {
                newNode.children.add(node.children.get(i));
            }
        }
        for (int i = 2 * t - 2; i >= t - 1; i--) {
            node.keys.remove(i);
        }
        if (!node.isLeaf) {
            for (int i = 2 * t - 1; i >= t; i--) {
                node.children.remove(i);
            }
        }
    }

B+树(B+tree)

B+树(B+ tree)是B-树的一种变种,特别适用于范围查询和顺序访问。
结构特点:
B+树与B-树类似,由节点组成,每个节点可以存储多个关键字,这些关键字按升
序排列。

B+树的特点是只有叶子节点存储了真实数据,而内部节点仅用于索引。叶子节点
通过指针连接形成一个链表,方便范围查询和顺序访问。
内部节点特点:
内部节点存储关键字和指向子节点的指针。
内部节点的关键字按升序排列,用于指示范围查询的起点。
内部节点的指针指向比关键字更大的子节点。
叶子节点特点:
叶子节点存储真实数据和指向下一个叶子节点的指针。
叶子节点的关键字按升序排列,支持范围查询和顺序访问。
所有叶子节点通过指针连接成一个链表,便于范围查询和顺序访问。
插入操作:
当要插入一个关键字时,从根节点开始,找到合适的叶子节点。
如果叶子节点已满,则需要进行节点分裂操作。将中间位置的关键字提升到父节
点,并将两个剩余的部分分别创建为新的叶子节点。
如果叶子节点还没有满,则直接将关键字插入到合适的位置。
删除操作:
当要删除一个关键字时,从根节点开始,找到包含该关键字的叶子节点。
直接删除叶子节点中的关键字,并更新链表指针。
删除操作后,如果叶子节点的关键字个数过少,则需要从兄弟节点借用关键字或
进行节点合并。
查询操作:
B+树的查询操作与B-树类似,从根节点开始,根据关键字的大小比较,向左或向
	右子节点递归查询,直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。
对于范围查询和顺序访问,可以从叶子节点开始,沿着链表进行遍历。
强调
B+树的特点在于只有叶子节点存储真实数据,这样使得范围查询和顺序访问更加
高效,因为数据在叶子节点上连续存储,读取连续的数据块比随机读取更快。而
内部节点仅存储索引信息,可以容纳更多的索引,提高了查询效率。B+树的实现
适用于需要高效地处理大量数据的数据库和文件系统,能够提供较高的查询性能
和存储效率。
代码实现
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

class BPlusTreeNode {
    public boolean isLeaf;
    public List<Integer> keys;
    public List<Object> values;
    public List<BPlusTreeNode> children;
    public BPlusTreeNode next;

    public BPlusTreeNode() {
        isLeaf = false;
        keys = new ArrayList<>();
        values = new ArrayList<>();
        children = new ArrayList<>();
        next = null;
    }
}

class BPlusTree {
    private BPlusTreeNode root;
    private int m;

    public BPlusTree(int m) {
        root = new BPlusTreeNode();
        root.isLeaf = true;
        this.m = m;
    }

    // 插入操作
    public void insert(int key, Object value) {
        if (root.keys.size() == m) {
            BPlusTreeNode newRoot = new BPlusTreeNode();
            newRoot.children.add(root);
            splitChild(newRoot, 0, root);
            root = newRoot;
        }
        insertNonFull(root, key, value);
    }

    // 非满子节点插入操作
    private void insertNonFull(BPlusTreeNode node, int key, Object value) {
        int index = node.keys.size() - 1;
        if (node.isLeaf) {
            while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
                index--;
            }
            node.keys.add(index + 1, key);
            node.values.add(index + 1, value);
            node.next = node.next;
        } else {
            while (index >= 0 && node.keys.get(index) > key) {
                index--;
            }
            index++;
            if (node.children.get(index).keys.size() == m) {
                splitChild(node, index, node.children.get(index));
                if (node.keys.get(index) < key) {
                    index++;
                }
            }
            insertNonFull(node.children.get(index), key, value);
        }
    }

    // 分裂满子节点
    private void splitChild(BPlusTreeNode parent, int index, BPlusTreeNode node) {
        BPlusTreeNode newNode = new BPlusTreeNode();
        newNode.isLeaf = node.isLeaf;
        parent.keys.add(index, node.keys.get(m / 2));
        parent.children.add(index + 1, newNode);

        newNode.keys.addAll(node.keys.subList((m / 2) + 1, m));
        newNode.values.addAll(node.values.subList((m / 2) + 1, m));
        
        if (!node.isLeaf) {
            newNode.children.addAll(node.children.subList((m / 2) + 1, m + 1));
            node.children.subList((m / 2) + 1, m + 1).clear();
        } else {
            newNode.next = node.next;
            node.next = newNode;
        }

        node.keys.subList(m / 2, m).clear();
        node.values.subList(m / 2, m).clear();
    }

    // 搜索操作
    public List<Object> search(int key) {
        return search(root, key);
    }

    private List<Object> search(BPlusTreeNode node, int key) {
        int index = 0;
        while (index < node.keys.size() && key > node.keys.get(index)) {
            index++;
        }
        if (index < node.keys.size() && key == node.keys.get(index)) {
            return node.values.get(index);
        } else if (node.isLeaf) {
            return null;
        } else {
            return search(node.children.get(index), key);
        }
    }
}

B树(B-tree)

B树(B-tree)是一种平衡的多路查找树,主要用于在磁盘等外部存储设备中高
效地存储和检索大量数据。以下是关于B树的详细介绍:
结构特点:
B树由节点组成,每个节点可以存储多个关键字,这些关键字按升序排列。
B树的特点是节点的关键字按升序排列,具有高度平衡的特性。
每个节点通常有多个子节点,最多可以拥有m个子节点,其中m称为B树的阶数。
插入操作:
当要插入一个关键字时,从根节点开始,判断关键字应插入的位置。
如果节点已满(即已有m-1个关键字),则需要进行节点分裂操作。将中间位置
的关键字提升为父节点,并将节点分裂为两个节点,将剩余的关键字均匀分配到
这两个节点中。
如果要插入的节点还没有满,则直接将关键字插入到合适的位置。
删除操作:
当要删除一个关键字时,从根节点开始,找到包含该关键字的节点。
如果该节点是叶子节点,直接删除关键字。
如果该节点是内部节点,有几种情况需要处理:
如果该节点有足够多的关键字,则可以直接删除关键字。
如果该节点的关键字数量过少,需要考虑兄弟节点的关键字数量以及兄弟节点合
并的情况。
查询操作:
B树的查询操作与二叉查找树类似,从根节点开始,根据关键字的大小比较,向
左或向右子节点递归查询,直到找到匹配的关键字或遇到叶子节点。
B树适用于大规模数据存储和查询的场景,特别适用于外部存储设备上的数据存
储。其平衡性保证了较为均衡的查询性能,因为从根节点到叶子节点的路径长度
相等或差别不大。B树的阶数m可以根据具体应用和硬件限制来选择,较大的阶数
有助于减少磁盘访问的次数,提高效率。
强调
B树的变种B+树在B树的基础上做了一些优化,将所有的数据都存储在叶子节点
中,使得范围查询和顺序访问更加高效。因此,B+树在现代数据库系统和文件
系统中更为常见和广泛应用。、
代码实现
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

class BTreeNode {
    int degree; // B树的阶数
    List<Integer> keys; // 节点中存储的关键字
    List<BTreeNode> children; // 节点的子节点
    boolean isLeaf; // 是否是叶子节点

    public BTreeNode(int degree, boolean isLeaf) {
        this.degree = degree;
        this.isLeaf = isLeaf;
        keys = new ArrayList<>();
        children = new ArrayList<>();
    }
}

class BTree {
    BTreeNode root; // B树的根节点
    int degree; // B树的阶数

    public BTree(int degree) {
        this.degree = degree;
        root = new BTreeNode(degree, true);
    }

    // 插入关键字
    public void insert(int key) {
        if (root.keys.size() == (2 * degree - 1)) {
            BTreeNode newRoot = new BTreeNode(degree, false);
            newRoot.children.add(root);
            splitChild(newRoot, 0, root);
            root = newRoot;
        }
        insertNonFull(root, key);
    }

    // 在非满节点插入关键字
    private void insertNonFull(BTreeNode node, int key) {
        int index = node.keys.size() - 1;
        if (node.isLeaf) {
            while (index >= 0 && key < node.keys.get(index)) {
                index--;
            }
            node.keys.add(index + 1, key);
        } else {
            while (index >= 0 && key < node.keys.get(index)) {
                index--;
            }
            index++;
            if (node.children.get(index).keys.size() == (2 * degree - 1)) {
                splitChild(node, index, node.children.get(index));
                if (key > node.keys.get(index)) {
                    index++;
                }
            }
            insertNonFull(node.children.get(index), key);
        }
    }

    // 分裂子节点
    private void splitChild(BTreeNode parent, int index, BTreeNode node) {
        BTreeNode newNode = new BTreeNode(degree, node.isLeaf);
        parent.keys.add(index, node.keys.get(degree - 1));
        parent.children.add(index + 1, newNode);
        for (int i = 0; i < degree - 1; i++) {
            newNode.keys.add(node.keys.get(i + degree));
            if (!node.isLeaf) {
                newNode.children.add(node.children.get(i + degree));
            }
        }
        if (!node.isLeaf) {
            newNode.children.add(node.children.get(2 * degree - 1));
        }
        for (int i = degree - 1; i >= 0; i--) {
            node.keys.remove(i + degree - 1);
            if (!node.isLeaf) {
                node.children.remove(i + degree);
            }
        }
    }

    // 搜索关键字
    public boolean search(int key) {
        return search(root, key);
    }

    private boolean search(BTreeNode node, int key) {
        int index = 0;
        while (index < node.keys.size() && key > node.keys.get(index)) {
            index++;
        }
        if (index < node.keys.size() && key == node.keys.get(index)) {
            return true;
        } else if (node.isLeaf) {
            return false;
        } else {
            return search(node.children.get(index), key);
        }
    }
}

Trie树(字典树或前缀树)

Trie树,也被称为字典树或前缀树,是一种用于高效存储和搜索字符串的树型数
据结构。Trie树的主要特点是通过字符串的前缀来进行搜索和匹配。
结构特点:
Trie树由根节点和一系列子节点组成。
根节点不包含任何关键字,每个子节点都表示一个字符,并按字符的顺序连接形
成路径。
从根节点到每个叶子节点的路径都对应一个字符串。
每个节点可以存储额外的信息,如词频或附加数据等。
插入操作:
当要插入一个字符串时,从根节点开始,逐个字符按顺序插入。
如果某个字符对应的子节点不存在,则创建一个新的子节点。
插入字符串的最后一个字符后,将当前节点标记为一个单词的结束。
搜索操作:
当要搜索一个字符串时,从根节点开始,逐个字符按顺序匹配。
如果某个字符对应的子节点存在,则继续匹配下一个字符。
如果匹配遇到缺失的字符或到达某个节点后没有子节点,则表示字符串不在Trie
树中。
如果匹配成功并且在Trie树中找到最后一个字符,则表示字符串存在于Trie树中。
删除操作:
当要删除一个字符串时,从根节点开始,逐个字符按顺序遍历。
如果遍历过程中发现某个字符对应的子节点不存在,则表示字符串不存在于Trie
树中。
如果遍历成功,并到达字符串的最后一个字符,将当前节点的结束标记取消。
如果遍历成功,但还存在其他相关字符串(例如,删除"abc"但还有"abcd"),
可以保留当前节点以表示其他相关字符串。
优点:
搜索的时间复杂度与字符串长度无关,仅与Trie树的高度相关,通常比哈希表更
高效。
可以高效地搜索具有相同前缀的字符串集合。
对于字符串的前缀匹配和自动补全,Trie树可以提供高效的结果。
缺点:
空间消耗较大,尤其在处理大量长字符串时。为了缓解这个问题,可以使用压缩
的Trie树,如压缩前缀树(Patricia树)或Trie树的变种来减少存储空间。
代码实现
class TrieNode {
    private TrieNode[] children;
    private boolean isEndOfWord;

    public TrieNode() {
        children = new TrieNode[26]; // 26个英文字母
        isEndOfWord = false;
    }

    public TrieNode getChild(char ch) {
        return children[ch - 'a'];
    }

    public void setChild(char ch, TrieNode node) {
        children[ch - 'a'] = node;
    }

    public boolean isEndOfWord() {
        return isEndOfWord;
    }

    public void setEndOfWord(boolean isEndOfWord) {
        this.isEndOfWord = isEndOfWord;
    }
}

class Trie {
    private TrieNode root;

    public Trie() {
        root = new TrieNode();
    }

    public void insert(String word) {
        TrieNode node = root;
        for (char ch : word.toCharArray()) {
            if (node.getChild(ch) == null) {
                node.setChild(ch, new TrieNode());
            }
            node = node.getChild(ch);
        }
        node.setEndOfWord(true);
    }

    public boolean search(String word) {
        TrieNode node = findNode(word);
        return node != null && node.isEndOfWord();
    }

    public boolean startsWith(String prefix) {
        TrieNode node = findNode(prefix);
        return node != null;
    }

    private TrieNode findNode(String str) {
        TrieNode node = root;
        for (char ch : str.toCharArray()) {
            node = node.getChild(ch);
            if (node == null) {
                return null;
            }
        }
        return node;
    }
}

使用示例

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Trie trie = new Trie();
        trie.insert("apple");
        trie.insert("banana");
        trie.insert("grape");
        
        System.out.println(trie.search("apple")); // 输出: true
        System.out.println(trie.search("orange")); // 输出: false
        
        System.out.println(trie.startsWith("app")); // 输出: true
        System.out.println(trie.startsWith("ban")); // 输出: true
        System.out.println(trie.startsWith("grap")); // 输出: true
    }
}

标签:node,index,keys,关键字,查找,key,节点
From: https://blog.51cto.com/u_16193391/6977526

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