麻将分析

\(\sect 1\) 牌效率理论

牌效率理论是麻将中最重要的理论之一。麻将游戏中大部分需要“决策”的内容就是“打出什么牌”这一问题，对这一问题的回答大多来自于牌效率理论。我们要以效率最高的方式达到和牌的目的。

在以下的分析中，我们只考虑最理想的情况：门前清立直。我们暂不讨论七对子、国士无双等特殊牌型的和牌方式，也不讨论“副露”情况下的和牌方法。同时，在计算场上剩余的牌时，我们也暂不考虑其它玩家已经打出了的牌，因为那样就把问题的分析变得非常得具体了。我们讨论相对抽象的理论，尽管对这种理论的应用在实际上会有偏差，但牌效率理论的内核与场上的具体分析本质上是相同的。对牌效率理论的研究对于分析场上具体的牌效率是非常有帮助的。

Thm（五组定理） 决定以普通牌型和牌时，如果手上超过五组，则为了和牌一定需要在某个时刻拆掉至少一组。

Pf

由于每次只能打出一张牌，因此组数只能连续变化。根据介值性，如果手上超过五组，则为了达到五组的和牌牌型，则一定需要在某个时刻拆掉至少一组。

Rmk

对组数的判定是相对于希望的和牌牌型而言的。一般的单牌不会被单独算成一组，但如果是宝牌或者其它我们希望它称为面子的牌，就可以被算为一组。

单牌效率

对牌效率的分析是基于“进张数”的。

对于我们保留在手上的还没有形成面子或雀头的牌，我们之所以选择不打是因为希望之后能够通过摸牌使得它能够形成面子或雀头。这些能够使它称为有效牌的牌称为“进张”。

Thm 1,9 < 2,8 < 3~7。其中 < 表示“没有…效率高”

Pf

1只能进2形成偏张，而2可以进1形成偏张、进3形成两面、进4形成坎张，优于1；3进2、4形成两面，进1、5形成坎张，优于2；对称的，对于7,8,9也成立。3~7的单牌效率可以认为相等。

单牌与弱搭子的价值比较（开局）：【没现过情况下】

14的1（69的9）< 客风牌 < 单牌19 < (东场南家的东) < 役牌 < 自风牌 < 单牌28 < 偏张（12，89）< 单牌3~7

出现一张的在本优先级内优先打，出现两张直接打。

差三变弱理论：有效牌全部重复。这就是为什么14的1特别弱。

当一张牌有多种理解方式时，取max

搭子

Thm 两面>坎张>偏张。其中 > 表示“比…效率高”。

Pf

不考虑场上已经打出的牌的因素，两面进张数为8，坎张进张数为4，可见两面优于坎张。

偏张进张数也为4。但是坎张（比如3,5）进2或6可以“改良”成两面。而对于偏张（比如1,2），3本身是进张，没有改良牌。因此坎张优于偏张。

Thm 有雀头时，对子<偏张。

Pf

由于不再需要雀头，对子的进张数只有2（还有两张在自己手上），弱于偏张。

Thm 有雀头时，与两面间隔为1的牌弱于其它花色的单牌。

Pf

不失一般性，只需证346m的6m要弱于6s。由于此时已经有雀头，两者的进张都是2m,5m（8张）。其中，单牌6s进5s,7s可以改良形成两面。346m进7m也可以改良为两面，但进5m就无法起到改良的效果，因为已经形成了顺子。

复合型

Def (补强牌) 与搭子的其中一张相同的牌称为该搭子的补强牌。

Thm 补强牌能增加刻子的进张数，优于同样点数的其它花色的单牌。

Pf

不失一般性，以67的补强牌677为例，进张数由原本的8（5,8各4张）增加到10（增加了7的2张）。这张7比别的花色的单7相比更优，单7的效率在于进6、8形成两面，进7形成对子，进5,9形成坎张；单作为补强牌的7进5,8能直接形成顺子，进7形成刻子，进6形成两个两面，效率更高。坎张或偏张的证明同理。

Rmk

在没有雀头时，补强牌可以作雀头。而在有雀头的时候，雀头同样有2张刻子的进张。这样的进张称为“双碰进张”，它的进张数可以认为是4张而不是表面看上去的2张。

Def (两坎) 形如\(x,x+2,x+4\)的同花色牌型称为两坎，其中\(1 \leq x \leq 5\)。

Thm 两面>两坎>坎张

以3,5,7为例优于坎张，弱于两面。两坎进张数为8，因此优于坎张。两面的进张数同样为8，但两坎首先会多占一个位置，同时在听牌时必须打出一张变成坎张听牌（听牌数<=4，愚型），因此弱于两面。

Def (四连型) 形如\(x,x+1,x+2,x+3\)的同花色牌型称为四连形，其中\(2 \leq x \leq 5\)。

以4567为例。它可以看作两个两面搭子（因此\(x\)取1时不能称为四连形，它是偏张和两面）。4567的四连形进3,5,6,8（14张）都能形成顺子和两面。而其中，进3（或8）后能形成五连型34567，听2,5,8（11张）形成三面听牌。当手上无雀头时，4567四连形进4或7都能形成雀头，进张数为6，优于双碰（4张）的进张数。同时，根据需要，在适当的时刻也可以拆四连形4567的4或7变回顺子听牌。

Def (中膨型) 形如\(x,x+1,x+1,x+2\)的同花色牌型称为四连形，其中\(2 \leq x \leq 6\)。

以4556为例，它也可以看作两个两面搭子。进3,4,6,7（14张）形成顺子和两面。在适当的时刻可以拆5形成顺子听牌。它和四连形很相似，都是非常高效的牌型。（中膨形理论上也可以听雀头，但进张数只有2，甚至弱于单骑）

Def (罗斯型) 形如\(x,x,x,x+1\)（或\(x,x,x,x-1\)）的同花色牌型称为罗斯形，其中\(2 \leq x \leq 7\)（\(3 \leq x \leq 8\)）。

以4445为例。进3,6（8张）形成顺子和对子，进5（3张）形成刻子和对子。在没雀头的时候，我们需要形成对子，因此一般保留罗斯型。在有雀头时不需要对子（只能听刻子），一般拆罗斯型保留刻子。

Def (怪罗斯型) 形如\(x,x,x,x+2\)（或\(x,x,x,x-2\)）的同花色牌型称为罗斯形，其中\(1 \leq x \leq 7\)（\(3 \leq x \leq 9\)）。

以4446为例。它是罗斯形的变种，进5（4张）形成顺子和对子，进6（3张）形成刻子和对子。因此我们对待它的方式和普通罗斯形相同，依据有无雀头分类讨论。

Def (亚两面型) 形如\(x,x,x+1,x+2\)的同花色牌型称为亚两面形，其中\(1 \leq x \leq 6\)（\(3 \leq x \leq 9\)）。

以6678为例。亚两面形一般没有固定的处理方法，需要具体问题具体分析。它可以看作66的对子和78的两面，但由于6已经损了2张，因此78作为两面的效率其实有所降低，因此称为“亚”两面。

当多个复合型叠在一起时，我们往往有多种方式来理解这些牌，以至于难以看出效率最高的理解方式。例如，对于233457，我们往往倾向于将7看作浮牌，而事实上它可以被理解为一个顺子234和两坎357的叠加。同样的，134568我们容易拆掉1，8把它理解为四连形，事实上它可以被理解为两个两坎135、468的叠加。正是因为形如这样的牌型非常容易犯错，我们要把它刻进DNA里，所以我们通常称这种牌型为DNA型。

听牌

一般我们认为听牌数\(\geq 6\)张时是好型听牌，否则称为愚型听牌。

常见的好型听牌（在不考虑场况里的损张时）两面听牌（8张），五连型的三面听牌（11张），四连形听雀头（6张）。

常见的愚型听牌有坎张听牌（4张），偏张听牌（4张），双碰听牌（4张），单骑听牌（3张）。

Rmk

但是我们一般认为听字牌是好型，尤其是当字牌出现过损张时，因为别家一般倾向于认为字牌是安全牌。