动态规划解决最长子序列和最长公共子串
一，最长公共子序列
1.1问题描述
最长公共子序列，是一道非常经典的动态规划题目，题目就是让我们求两个字符串的最长的公共子序列长度。
输入：str1 = "abcde", str2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是"ace"。它的长度是3
首先读者会有一个疑问，为什么会用到动态规划，因为子序列类型的问题，大部分人脑中的第一个想法就是枚举它们的所有情况不就行了，但是暴力解决不了问题，而动态规划的算法最基本实现的就是穷举+剪枝，如此组合，可谓天生一对儿。读者只要掌握好这一道例题，再面对涉及到子序列问题，很大概率动态规划都是可以解决的。
题目链接：最长公共子序列
1.2 动态规划思路
- 第一步，一定要明确DP数组的含义，对于两个字符串的问题，套路是大差不差的，对于字符串$s_1$和$s_2$，一般来说，可以构造一个表格来分析
为了方便理解此表，我们暂时认为索引是从 1 开始的，待会的代码中只要稍作调整即可。其中，dp[i][j] 的含义是：对于 s1[1..i] 和 s2[1..j]，它们的 LCS 长度是 dp[i][j]。
比如上图的例子，d[2][4] 的含义就是：对于 "ac" 和 "babc"，它们的 LCS 长度是 2。我们最终想得到的答案应该是 dp[3][6]
- 第二步：定义base case
我们专门让索引为 0 的行和列表示空串，dp[0][..] 和 dp[..][0] 都应该初始化为 0，这就是 base case。
比如说，按照刚才 dp 数组的定义，dp[0][3]=0 的含义是：对于字符串 "" 和 "bab"，其 LCS 的长度为 0。因为有一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是 0。
- 第三步：找到状态转移方程
这是动态规划最难的一步，不过好在这种字符串问题的套路都差不多，权且借这道题来聊聊处理这类问题的思路。
状态转移说简单些就是做选择，比如说这个问题，是求 s1 和 s2 的最长公共子序列，不妨称这个子序列为 lcs。那么对于 s1 和 s2 中的每个字符，有什么选择？很简单，两种选择，要么在 lcs 中，要么不在。
这个「在」和「不在」就是选择，关键是，应该如何选择呢？这个需要动点脑筋：如果某个字符应该在 lcs 中，那么这个字符肯定同时存在于 s1 和 s2 中，因为 lcs 是最长公共子序列嘛。所以本题的思路是这样：
用两个指针 i 和 j 从后往前遍历 s1 和 s2，如果 s1[i]==s2[j]，那么这个字符一定在 lcs 中；否则的话，s1[i] 和 s2[j] 这两个字符至少有一个不在 lcs 中，需要丢弃一个。先看一下递归解法，比较容易理解：
1.3代码实现部分
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
int max(int a, int b)
{
return (a>b)? a:b;
}
/**
* 返回X[0...m-1]和Y[0...n-1]的LCS的长度
*/
int lcs(string &X, string &Y, int m, int n)
{
// 动态规划表，大小(m+1)*(n+1)
vector<vector<int>> table(m+1,vector<int>(n+1));
for(int i=0; i<m+1; ++i)
{
for(int j=0; j<n+1; ++j)
{
// 第一行和第一列置0
if (i == 0 || j == 0)
table[i][j] = 0;
else if(X[i-1] == Y[j-1])
table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;
else
table[i][j] = max(table[i-1][j], table[i][j-1]);
}
}
return table[m][n];
}
int main()
{
string X = "ABCBDAB";
string Y = "BDCABA";
cout << "The length of LCS is " << lcs(X, Y, X.length(), Y.length());
cout << endl;
getchar();
return 0;
}
二， 最长公共子串
2.1题目描述
给定两个字符串str1和str2，输出两个字符串的最长公共子串，保证str1和str2的最长公共子串存在并且唯一
2.2动态规划思想
定义dp[i][j],表示字符串str1中第$i$个元素和str2中第$j$个元素为最后一个元素所构成的最长公共子串。那么如果要找出dp[i][j]，也就是str1中第$i$个元素和和str2中第$j$个元素是否相等，如果相等，则进行记录如果不相等，那么就不记录。这样就表示$dp[i][j]=0$。如果相等，则需要计算前面的相等的字符，其实就是$dp[i-1][j-1]$,所以$dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1$;
如图所示，以上得到的公式。
2.3代码实现部分
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
int max(int a, int b)
{
return (a>b)? a:b;
}
/**
* 返回X[0...m-1]和Y[0...n-1]的LCS的长度
*/
int lcs(string &X, string &Y, int m, int n)
{
int biggest = 0;
// 动态规划表，大小(m+1)*(n+1)
vector<vector<int>> table(m+1,vector<int>(n+1));
for(int i=0; i<m+1; ++i)
{
for(int j=0; j<n+1; ++j)
{
// 第一行和第一列置0
if (i == 0 || j == 0)
table[i][j] = 0;
else if(X[i-1] == Y[j-1])
{
table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;
if(table[i][j] > biggest) // 增加了一个最大值
biggest = table[i][j];
}
else
table[i][j] = 0; // 此处变化
}
}
return biggest;
}
int main()
{
string X = "ABCBDAB";
string Y = "BDCABA";
cout << "The length of LCS is " << lcs(X, Y, X.length(), Y.length());
cout << endl;
getchar();
return 0;
}