起源：
有两个赌徒，7局4胜，赢了的获得1000元。结果只进行了一半就不得已结束。甲赢了3局，乙赢了1局，怎么分钱？
最公平的分发就是按获胜的概率分，如果继续进行，甲有87.5%的概率获胜，分得875元，乙分得125元。
这是最初的概率，但是生活中概率有很多滥用：降水概率（频率），色子（概率），硬币（概率），新冠感染率（频率）。
所以有必要先区分一下概率。
频率和概率
频率是指发生的次数比上总次数。
概率是一个系统决定的先验。
通俗一点就是概率是确定的，而频率是计算得来的。
事件与概率（不严谨）
经典概率论：概率是事件发生的可能性大小。（其实这是不严谨的）
为什么不严谨？
因为没有数学名词，都是用的生活词汇。
先来看看经典概率论：
事件分为：
- 1.确定时间（结果唯一）
- 2.随机事件（结果不唯一）
而确定事件又分为： - 1.必然事件
- 2.不可能事件
我们把事件记作A，概率记作P(A)
若果A是必然事件，那么P(A)=1；
若果A是不可能事件，那么P(A)=0
反过来，下面的式子还对吗？也就是说等价吗？
我们考虑这样一个问题。我现在有一个圆，投中圆心的概率是多少？
是圆心的面积除以圆的面积。圆有面积，可是圆心没有，也就是概率为0.但是显然可以投中圆心，所以上文的式子是错的。这就可以再次证明经典概率论是不严谨的。
我们只能知道0<=P(A)<=1
新的概率
首先我们有必要知道一些前置定义。
基本事件空间：
事件所有可能的结果的集合
ps:集合，终于出现数学语言了。
古典概型：
古典概型：基本事件空间元素有限，每种情况等可能发生。
在古典概型下：P(A)=A包含的情况个数/所有情况个数。古典概型的限制是
- 1.受限于基本事件空间，情况要有限。
- 2.每种情况要等可能
举个例子，抛硬币正面向上的概率。
你会说50%。
可是有没有可能立在桌子上，这样到底算不算正面呢。
发现问题了吗？我既没有定义基本事件空间，也没有说怎么算正面向上。
几何概型：
几何概型：基本事件空间情况无穷多，概率正比于事件的几何测度。
给一个例子：
小圆的半径是r,大圆的是R那么投中小圆里的概率是多少。
显然P(A)是r的平方除以R的平方（原谅Latex手残党），这个时候古典概型就无能为力。
几何概型的优势就是能解决一些看着很巧妙，但实际很难处理的问题。
比如下面的问题：
给定一个长度为1的棍子，分成3份，问这三份正好可以围成三角形的概率。
首先我们来刻画这个时间，设第一段的长度为x，第二段为y，第三段为1-x-y那么根据两边之和大于第三边可以列出三个要求。
那么基本事件空间呢，就是这三者要小于1。
实际上这两个不等式组都是对x,y的限制，我们把x,y当成坐标轴，粉色的三角形就是基本事件空间，蓝的则是围成三角形的基本事件。
虽然解的结果x是取不到1/2的，但是这一条边可以忽略不计。
现代概率论
首先对于基本事件空间：
- 1.不用等可能
- 2.可以无限，也可以有限
事件域：
在事件域中可以谈论概率。
它满足：
- 1.是基本事件空间的子集
- 2.全集在事件域里
- 3.若A在事件域里，A的补集也在事件域里
- 4.若A,B在事件域里，A和B的并集也在事件域里
- 5.事件域不一定是唯一的
什么是概率：
概率（P）是$\Omega $上的一个测度，满足：
现在我们再来看几何概型：
只要让$\Omega $无限比如实数集，它也就是一个测度。
测度的限制
- 1.单调性，A是B的子集P(A)<=P(B)
- 2.次可列可加性：
