入门：
先介绍三个简单的技术
插板法：
直接插板：
看下面的问题：
eg1:
\(x+y+z=20\)，其中\(x,y,z\)为正整数，求有多少组解。
我们考虑有\(20\)个球排成一排。我们插入两个板子把这\(20\)个球分成\(3\)个部分，其中第一部分的球的个数是\(x\)的大小，第二部分是\(y\)，第三部分是\(z\)。
这两个板子怎么插呢不难想到——插在\(19\)个缝里。也就是在\(19\)个缝里选\(2\)个。
答案是$C_{19}^{2} $
先转化，再插板（一一对应）：
eg2:
\(x+y+z=17\)，其中\(x,y,z\)为自然数，求有多少组解。
这个问题不好直接插板。因为可能有零的出现，多个板子可以插在同一个地方。你考虑这样一件事，就是说下面这个问题的解其实和上面的问题一样：
\((x+1)+(y+1)+(z+1)=20\)，其中\(x,y,z\)为正整数，求有多少组解。
是不是豁然开朗。我令:
\(a=x+1,b=y+1,c=z+1\),就是\(a+b+c=20\),\(a,b,c\)为正整数，求解的组数，和最开始的问题毫无区别。而这其实建立里一组一一对应的关系把一组\(a,b,c\)的解对应到了一组\(x,y,z\)的解。
独立完成下面的问题：
eg3：
\(x+y+z=14\)，其中\(x>=-1,y>=0,z>=-2\)且\(x,y,z\)为整数，求有多少组解。
答案
原问题可以化为：(x+2)+(y+1)+(z+3)=20，其中(x+2),(y+1),(z+3)为正整数，求有多少组解。
捆绑法：
eg1：
有$ABCDEFGH$8个人要做\(3\)个任务，\(EF\)要分同一个任务，有多少种分配方法？
如果没有\(EF\)分同一个任务的限制，就是一个插板法，可既然\(EF\)要分在一起，当成一个人（下文用\(K\)表示）就行了，问题可以转化为：
看下面的问题：有$ABCDKGH$7个人要做\(3\)个任务，有多少种分配方法？
这个问题直接插板就行了。
进阶：
Catalan 数（卡特兰数）
引入：
先看几个问题：
eg1.
有\(N\)个数要按顺序放进一个栈里，每次有可能弹出栈顶或放入下一个元素，问有多少种过程。
eg2.
一个人从原点出发，若当前处于\((x,y)\)，下一次可以走到\((x+1,y+1)\)或\((x+1,y-1)\)，走\(2* N\)步，不可以走到第四象限，最终走到\((2* N,0)\)的轨迹数。
eg3.
有一个\(N* N\)的格点图：
从\(A(0,0)\)走到\(B(N,N)\)，不走对角线\(AB\)以下的方案数。
eg4.
\(N+1\)个节点的满二叉树的个数（可以把一个左儿子看成\(+1\)，一个右儿子看成\(-1\)）
发现了吗，这其实是一个问题,卡特兰数的模型是这样的;
- 从原点出发，向上走\(N\)步，向下走\(N\)步，其中只停留在正半轴的轨迹个数（可以到\(x\)轴）,记作\(C_n\)。
计算Catalan 数
先不考虑只在正半轴的条件，方案数就是$C_{2 * n}^{n} $,这时我们只需要把不符合要求的删掉
记得上文插板法一一对应的思想吗？