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Floyd 原理简析

Floyd 的原理其实是 DP，定义 \(\mathrm{dp}[S][i][j]\) 表示在仅经过点集 \(S\) 里的点的条件下，从 \(i\) 到 \(j\) 的最短路距离

初始状态 \(S\) 为空，\(\mathrm{dp}[\varnothing ][i][j]\) 就等于 \(i,j\) 间的边长，没有边就是正无穷

转移方程，在加入一个新的点 \(k\) 的时候，

\[\mathrm{dp}[S+k][i][j] = \max\{ \mathrm{dp}[S][i][j], \mathrm{dp}[S][i][k] + \mathrm{dp}[S][k][j]\} \]

也就是说，每一次状态转移都是选取一个新点 \(k\)，然后枚举所有的路径进行更新：将路径 \(<i, j>\) 拆成了 \(<i, k>,<k,j>\) 两段，比较这个有新点的路径是不是更优的，择优更新

因为每次更新之前 \(\mathrm{dp}[S][...][...]\) 都是已知的（要么是无法到达的 inf，要么是当前最优的答案），所以往后推每一次都是最优的

对于某一条最短路径 \(<i, j, k, l>\) ，虽然它在初始状态是无法联通的，但是随着新点的加入，\(<i, j, k>, <j, k, l>\) 终将联通，最后无论选择 \(j\) 还是 \(k\) 都能让 \(<i, j, k, l>\) 联通，只需选择最短的一条就可以得出答案了

写成代码的话一般都是按标号顺序更新点集，也就是 \(\mathrm{dp}[k][i][j]\) 表示考虑前 \(k\) 个点时的最短路径

然后再滚动掉第一维，就成了我们最后看到的样子：

int dist[MAXN][MAXN];

for (int k = 1; k <= n; ++k) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            dist[i][j] = std::min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
        }
    }
}

CF 295 B Greg and Graph

看完上面的原理，为什么要倒序跑 Floyd 就很显然了，Floyd 的原理本来就是加点，放在这题自然再合适不过

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