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min25筛

时间：2023-07-25 11:05:46浏览次数：36

标签：前缀积性 min25 样例整数质数函数

时间复杂度为 $min25筛_前缀和$

解决的问题有：

用来求积性函数前缀和 $min25筛_min25筛_02$ ，要求有

$min25筛_min25筛_03$ 是一个关于质数p的项数较小的多项式或者能快速求值
$min25筛_前缀和_04$ 可以快速求值

前置知识：

积性函数:对于互质的整数 $min25筛_积性函数_05$ 和 $min25筛_min25筛_06$ 有性质 $min25筛_min25筛_07$
完全积性函数：对于任意整数 $min25筛_积性函数_05$ 和 $min25筛_min25筛_06$ 有性质 $min25筛_min25筛_07$
规定 $min25筛_积性函数_11$ 是从小到大第零个质数， $min25筛_min25筛_12$ 是从小到大第一个质数
在 $min25筛_前缀和_13$ 以内没有任何一个合数的最小质因子大于 $min25筛_前缀和_14$ 且 $min25筛_积性函数_15$ 那么
$min25筛_积性函数_16$
$min25筛_积性函数_17$ 表示 $min25筛_积性函数_18$ 以内的质数个数

过程：

令

$min25筛_积性函数_19$

在求 $min25筛_min25筛_20$ 时可以通过将 $min25筛_min25筛_21$ 分为质数和合数来将 $min25筛_积性函数_22$ 分成两部分来求和，我们设一个完全积性函数为 $min25筛_积性函数_23$ ，它满足

$min25筛_min25筛_24$

再设 $min25筛_积性函数_25$ 为

$min25筛_min25筛_26$

显然

$min25筛_前缀和_27$

由前置知识第 $min25筛_积性函数_28$ 条可以知道，这里

$min25筛_前缀和_29$

考虑 $min25筛_积性函数_25$ 的状态转移：

$min25筛_积性函数_31$

而当 $min25筛_积性函数_32$ 时

$min25筛_积性函数_33$

然后根据完全积数函数的性质

$min25筛_min25筛_34$

结论为

$min25筛_前缀和_35$

最终结论为

$min25筛_min25筛_36$

设

$min25筛_积性函数_37$

回忆一下，我们最初要计算的答案就是 $min25筛_积性函数_38$

先给出公式

$min25筛_min25筛_39$

例题

【模板】Min_25筛

题目背景

模板题，无背景。

题目描述

定义积性函数 $min25筛_min25筛_40$ ，且 $min25筛_积性函数_41$ （ $min25筛_min25筛_42$ 是一个质数），求

$min25筛_前缀和_43$

对 $min25筛_前缀和_44$ 取模。

输入格式

一行一个整数 $min25筛_前缀和_13$ 。

输出格式

一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

1000000000

样例输出 #2

710164413

提示

$min25筛_前缀和_46$

$min25筛_min25筛_47$

对于 $min25筛_min25筛_48$ 的数据，保证 $min25筛_积性函数_49$ 。

对于 $min25筛_积性函数_50$ 的数据，保证 $min25筛_积性函数_51$

思路：

先求 $min25筛_积性函数_25$ ，由下面公式可得

$min25筛_min25筛_36$

一，由 $min25筛_前缀和_54$ 可知需要求出质数前缀和，题中当 $min25筛_min25筛_55$ 为质数时， $min25筛_前缀和_56$ ，我们把 $min25筛_积性函数_57$ 和 $min25筛_min25筛_42$ 分别求前缀和放入 $min25筛_积性函数_59$ ，另外我们取 $min25筛_积性函数_60$ 为 $min25筛_积性函数_18$ 。

标签：前缀,积性,min25,样例,整数,质数,函数
From： https://blog.51cto.com/u_16085557/6843215

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