鸡蛋的硬度

title: 鸡蛋的硬度
date: 2023-07-25 08:50:23
tags:
- c/c++
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鸡蛋的硬度

题目来自acwing

题目（点击跳转）

最近XX公司举办了一个奇怪的比赛：鸡蛋硬度之王争霸赛。

参赛者是来自世界各地的母鸡，比赛的内容是看谁下的蛋最硬，更奇怪的是XX公司并不使用什么精密仪器来测量蛋的硬度，他们采用了一种最老土的办法–从高度扔鸡蛋–来测试鸡蛋的硬度，如果一次母鸡下的蛋从高楼的第a层摔下来没摔破，但是从a+1层摔下来时摔破了，那么就说这只母鸡的鸡蛋的硬度是a。

你当然可以找出各种理由说明这种方法不科学，比如同一只母鸡下的蛋硬度可能不一样等等，但是这不影响XX公司的争霸赛，因为他们只是为了吸引大家的眼球，一个个鸡蛋从100 层的高楼上掉下来的时候，这情景还是能吸引很多人驻足观看的，当然，XX公司也绝不会忘记在高楼上挂一条幅，写上“XX公司”的字样–这比赛不过是XX公司的一个另类广告而已。

勤于思考的小A总是能从一件事情中发现一个数学问题，这件事也不例外。

“假如有很多同样硬度的鸡蛋，那么我可以用二分的办法用最少的次数测出鸡蛋的硬度”，小A对自己的这个结论感到很满意，不过很快麻烦来了，“但是，假如我的鸡蛋不够用呢，比如我只有1个鸡蛋，那么我就不得不从第1层楼开始一层一层的扔，最坏情况下我要扔100次。如果有2个鸡蛋，那么就从2层楼开始的地方扔……等等，不对，好像应该从1/3的地方开始扔才对，嗯，好像也不一定啊……3个鸡蛋怎么办，4个，5个，更多呢……”，和往常一样，小A又陷入了一个思维僵局，与其说他是勤于思考，不如说他是喜欢自找麻烦。

好吧，既然麻烦来了，就得有人去解决，小A的麻烦就靠你来解决了。

输入格式

输入包括多组数据，每组数据一行，包含两个正整数 n 和 m，其中 n 表示楼的高度，m 表示你现在拥有的鸡蛋个数，这些鸡蛋硬度相同（即它们从同样高的地方掉下来要么都摔碎要么都不碎），并且小于等于 n。

你可以假定硬度为 x 的鸡蛋从高度小于等于 x 的地方摔无论如何都不会碎（没摔碎的鸡蛋可以继续使用），而只要从比 x 高的地方扔必然会碎。

对每组输入数据，你可以假定鸡蛋的硬度在 0 至 n 之间，即在 n+1 层扔鸡蛋一定会碎。

输出格式

对于每一组输入，输出一个整数，表示使用最优策略在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数。

数据范围

1≤n≤100
1≤m≤10

输入样例：

100 1
100 2

输出样例：

100
14

样例解释

最优策略指在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数最少的策略。

如果只有一个鸡蛋，你只能从第一层开始扔，在最坏的情况下，鸡蛋的硬度是100，所以需要扔100次。如果采用其他策略，你可能无法测出鸡蛋的硬度(比如你第一次在第二层的地方扔,结果碎了,这时你不能确定硬度是0还是1)，即在最坏情况下你需要扔无限次，所以第一组数据的答案是100。

思路一：

$$
时间复杂度O(n^2m)
$$

• 状态表示
  • 集合：f[i][j]表示所有测量区间长度为i且用了j个鸡蛋的测量次数的集合
  • 属性：最坏情况下的最小值
• 状态计算
  • 最后一个鸡蛋没有用到：f[i][j] = f[i-1][j]
  • 最后一个鸡蛋用了，这里分多种情况，看最后一个鸡蛋在那个点用的，需要循环遍历一遍1-i，假设在第k个位置用了第 j 个鸡蛋，那么有两种情况
    • 鸡蛋碎了，则f[i][j] = f[k-1][j-1]
    • 鸡蛋没碎，则f[i][j] = f[i-k][j-1]
  • 那鸡蛋碎和不碎是一个不确定事件，所以这里要去两者的最大值，然后再加一，因为第k层测试了一次。
  • 所以状态计算为：f[i][j] = max(f[k-1][j-1], f[i-k][j-1]) + 1
• 最后得到两种情况状态计算，再求最小值即可。
• f[i][j] = min(f[i-1][j], max(f[k-1][j-1], f[i-k][j-1]) + 1)

代码一：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 11;

int n, m;
int f[N][M];

int main()
{
    while(~scanf("%d %d", &n, &m)){
        for(int i = 1; i <= n; i ++ ) f[i][1] = i;
        for(int i = 1; i <= m; i ++ ) f[1][i] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i ++ ) 
            for(int j = 2; j <= m; j ++ ){
                f[i][j] = f[i][j - 1];
                for(int k = 1; k <= i; k ++ ) 
                    f[i][j] = min(f[i][j], max(f[k - 1][j - 1], f[i - k][j]) + 1);
            }
        cout << f[n][m] << endl;
    }
    
    return 0;
}

思路二：

$$
时间复杂度O(nm)
$$

• 状态表示
  • 集合：所有使用j个鸡蛋，测量次数为i的区间长度的集合
  • 属性：最大值
• 状态计算
  • 第j个鸡蛋使用位置为高度，假设为k
    • 鸡蛋碎了，高度在k下边，f[i-1][j-1]
    • 鸡蛋没碎，高度在k上边，f[i-1][j]
  • 那么能测量区间的最大值就是f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j] + 1

代码二：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 11;

int n, m;
int f[N][M];

int main()
{
    while(cin >> n >> m) {
        for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            for(int j = 1; j <= m; j ++ )
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1] + 1;
            if(f[i][m] >= n){
                cout << i << endl;
                break;
            }
        }
    }
    
    return 0;
}