冷门科技 —— DFS 序求 LCA

• Update on 2023.7.17：该技巧目前已知的最早来源：skip2004。
• Update on 2023.7.17：比较时，取时间戳较小的结点也是正确的，不用记录深度。

DFS 序求 LCA 无论是从时间常数，空间常数还是好写程度方面均吊打欧拉序。

定义

DFS 序表示对一棵树进行深度优先搜索得到的 结点序列，而 时间戳 DFN 表示每个结点在 DFS 序中的位置。这两个概念需要着重区分。

算法介绍

考虑树上的两个结点 \(u, v\) 及其最近公共祖先 \(d\)，我们不得不使用欧拉序求 LCA 的原因是在欧拉序中，\(d\) 在 \(u, v\) 之间出现过，但在 DFS 序中，\(d\) 并没有在 \(u, v\) 之间出现过。对于 DFS 序而言，祖先一定出现在后代之前（性质）。

不妨设 \(u\) 的 DFN 小于 \(v\) 的 DFN（假设）。

当 \(u\) 不是 \(v\) 的祖先 时（情况 1），DFS 的顺序为从 \(d\) 下降到 \(u\)，再回到 \(d\)，再往下降到 \(v\)。

根据性质，任何 \(d\) 以及 \(d\) 的祖先均不会出现在 \(u\sim v\) 的 DFS 序中。

考察 \(d\) 在 \(v\) 方向上的第一个结点 \(v'\)，即设 \(v'\) 为 \(d\) 的 / 子树包含 \(v\) 的 / 儿子。根据 DFS 的顺序，显然 \(v'\) 在 \(u\sim v\) 的 DFS 序之间。

这意味着什么？我们只需要求在 \(u\) 的 DFS 序和 \(v\) 的 DFS 序之间深度最小的任意一个结点，那么 它的父亲 即为 \(u, v\) 的 LCA。

这样做的正确性依赖于在 DFS 序 \(u\) 到 \(v\) 之间，\(d\) 以及 \(d\) 的祖先必然不会存在，且必然存在 \(d\) 的儿子。

\(u, v\) 成祖先后代关系（情况 2）是容易判断的，但这不优美，不能体现出 DFS 求 LCA 的优势：简洁。为了判断还要记录每个结点的子树大小，但我们自然希望求 LCA 的方法越简单越快越好。

根据假设，此时 \(u\) 一定是 \(v\) 的祖先。因此考虑令查询区间从 \([dfn_u, dfn_v]\) 变成 \([dfn_u + 1, dfn_v]\)。

对于情况 1，\(u\) 显然一定不等于 \(v'\)，所以情况 2 对于算法进行的修改仍然适用于情况 1。

综上，若 \(u\neq v\)，则 \(u, v\) 之间的 LCA 等于在 DFS 序中，位置在 \(dfn_u + 1\) 到 \(dfn_v\) 之间的深度最小的结点的父亲。若 \(u = v\)，则它们的 LCA 就等于 \(u\)，这是唯一需要特判的情况。

预处理 ST 表的复杂度仍为 \(\mathcal{O}(n\log n)\)，但常数减半。以下是模板题 P3379 的代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 5e5 + 5;
int n, m, R, dn, dfn[N], mi[19][N];
vector<int> e[N];
int get(int x, int y) {return dfn[x] < dfn[y] ? x : y;}
void dfs(int id, int f) {
  mi[0][dfn[id] = ++dn] = f;
  for(int it : e[id]) if(it != f) dfs(it, id); 
}
int lca(int u, int v) {
  if(u == v) return u;
  if((u = dfn[u]) > (v = dfn[v])) swap(u, v);
  int d = __lg(v - u++);
  return get(mi[d][u], mi[d][v - (1 << d) + 1]);
}
int main() {
  scanf("%d %d %d", &n, &m, &R);
  for(int i = 2, u, v; i <= n; i++) {
    scanf("%d %d", &u, &v);
    e[u].push_back(v), e[v].push_back(u);
  }
  dfs(R, 0);
  for(int i = 1; i <= __lg(n); i++)
  for(int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++)
    mi[i][j] = get(mi[i - 1][j], mi[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
  for(int i = 1, u, v; i <= m; i++) scanf("%d %d", &u, &v), printf("%d\n", lca(u, v));
  return 0;
}

和各种 LCA 算法的对比

对比 DFS 序和欧拉序，不仅预处理的时间常数砍半（欧拉序 LCA 的瓶颈恰好在于预处理，DFS 是线性），空间常数也砍半（核心优势），而且还更好写（对于一些题目就不需要再同时求欧拉序和 DFS 序了），也不需要担心忘记开两倍空间，可以说前者从各个方面吊打后者。

对比 DFS 序和倍增，前者单次查询复杂度更优。

对于 DFS 序和四毛子，前者更好写，且单次查询常数更小（其实差不多）。

对于 DFS 序和树剖，前者更好写，且单次查询复杂度更优（但树剖常数较小）。

将 DFS 序求 LCA 发扬光大，让欧拉序求 LCA 成为时代的眼泪！