并查集

题目

一共有 $n$ 个数，编号是 $1∼n$，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 $m$ 个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 $a$ 和 $b$ 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作； Q a b，询问编号为 $a$ 和 $b$ 的两个数是否在同一个集合中； 输入格式 第一行输入整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式 对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 $a$ 和 $b$ 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围 $1≤n,m≤105$ 输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

Yes
No
Yes

思路

并查集可以在非常快的时间内完成以下操作：

1. 将两个集合合并 ※
2. 询问两个元素是否在同一集合中

基本原理：每个集合用树表示，每个节点x存储它的父节点p[x]

1. 判断根节点：p[x] == x
2. 求根节点：while (x != p[x]) x = p[x] 此时可以将路径上的点全部指向根节点优化时间
3. 合并两个集合：将一个集合的根节点变为另一个树的根节点

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int p[N];  // 存储父节点

int find(int x)
{
    // 如果当前节点不为根节点，他的父节点就等于根节点，递归保证路径的点都满足
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);  
        
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) p[i] = i;  // 初始化父节点，初始为本身
    
    while (m -- )
    {
        char op;
        int a, b;
        cin >> op >> a >> b;
        if (op == 'Q')
        {
            if (find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
        else p[find(a)] = find(b);
    }
    
    return 0;
}