小学数学速算技巧

读博读够了，复习下小学数学速算技巧。

什么样的计算比较容易

• 数值小：12×2 比 12×7 好算
• 能凑整：比如 12+18，15×2，14/2，13×10
• 没有进位借位：比如 13+15 比 67+78 好算，99-34 比 102-37 好算

基本技巧

基本思路是通过拆分构造，把复杂计算转化为简单计算，常见技巧如下：

• 减小数值
  • ×5 → ÷ 2 × 10：4252×5 = 4252/2×10 = 21260 （乘以比较大的数字 5 转化为除以比较小的数字 2 再补 0）
  • 14×16 = 28×8 = 56×4 = 112×2 = 224（每次×2，多次分拆）
• 凑整
  • 54×9 = 54×(10-1) = 54×10-54 = 540 - 54 = 500 - 14 = 496
• 避免进位借位
  • 1000-78 = 999-78+1 = 922

特殊技巧

\(\{\}_m\{\}_n\) 表示两个大括号内的运算结果，分别占 m 和 n 位（不足前面补 0），然后拼起来

乘法

• “同值互补”两位数乘法 ⭐
  • 统一规律：{头乘头 + 重复数字}{尾乘尾}，讨论验证如下
  • a=c, b+d=10 时，\(ab \times cd = ab \times ad = \{a \times (a+1)\}_2\{b \times d\}_2\)，如 34×36 = {3×(3+1)}{3×7} = 1224
  • a+c=10, b=d 时，\(ab \times cd = ab \times cb = \{a \times c + b\}_2\{b \times b\}_2\)，如 43×63 = {4×6+3}{3×3} = 2709
  • a=b, c+d=10 时，\(ab \times cd = aa \times cd = \{a \times c + a\}_2\{b \times b\}_2\)，如 33×64 = {3×6+3)}{3×4} = 2112
• “乘以 11”
  • 统一规律：高位是几则进几，两两相加挨次写，相加超十前加一，个位是几还写几（“两边一拉，中间一加，过十进位”），如 134×11 = 1(1+3)(3+4)4 = 1476
• ab×9
  • \(\{ab-(a+1)\}_2\{10-b\}_1\)，如 34×9 = {34-3-1}{10-4} = 306; 38×9 = {38-4}{10-8} = 342；33×9 = {33-4}{10-3} = 297；83×9 = {83-9}{10-3} = 747
  • 指算法
• ab×99
  • 统一规律：\(\{ab-1\}_2\{100-ab\}_2\)，如 48×99 = {48-1}{100-48} = 4752
    • 注意 a 可以是 0，即 b×99 也满足。不过此时更快的方法是 b×9 结果中间填 9，如 4×99 → 4×9 = 36 → 3(9)6
• a9×b9
  • 统一规律：先算 c = (a+1)×(b+1) 和 d = (a+1)+(b+1) 然后，e = c×10-d，最后 e 后面补个 1，如 59×79：（5+1）×（7+1）=48；（5+1）+（7+1）=14；48×10-14=466，后面再加 1 就是结果：4661。
• 9a×9b
  • 统一规律：计算 100 和两个数的差，假设分别为 a，b；则结果为 \(\{100-(a+b)\}_2\{a \times b\}_2\)，如 97×95 = {100-3-5}{3×5}=9215
• 10a×10b
  • 统一规律：\(10a \times 10b = \{10a + b\}_3\{a \times b\}_2\)，如 108×109 = {108+9}{8×9} = 11772
• 任意两位数的交叉乘法（竖式乘法替代）⭐
  • 如 32×54=1728 的计算
    • 个位乘个位得个位，得到的是个位：2×4=8，上的 8。
    • 两数的个位、十位分别交叉相乘然后相加，得到的是十位：3×4+2×5=22，注意 22 最后一位是十位，即实际值是 220。加上第一步，现在结果是 228
    • 十位乘十位得百位： 3×5=15，注意 15 最后一位是百位，即实际值是 1500。加上前面两步结果 228（注意第一个 2 是百位进位，加到 5 上），结果是 1728
  • 特殊情况速算
    • 末位皆一者，首位之积接着首位之和，尾数之积后面接。如：51×21=1071
• 完全平方公式 \((a+b)^2 = a^2 + b^2 +2 ab\)
• 平方差公式 \((a-b)(a+b) = a^2 - b^b\)

加减法

• 对称数 ab±ba
  • ab+ba 统一规律：(a + b) × 11，如 85+58=（5+8）×11=143
  • ab-ba 统一规律：(a - b) × 9，如 85-58 = 3×9= 27 （假设 a>b）
  • abc - cba 统一规律：(a - c) × 9 结果中间插入 9，如 936-639 →（9-6）×9=3×9=27 → 2（9）7 = 297

平方

• 常用平方表
  • 11²=121
  • 12²=144
  • 13²=169
  • 14²=196
  • 15²=225
  • 16²=256
  • 17²=289
  • 18²=324
  • 19²=361
  • 21²=441
  • 22²=484
  • 23²=529
  • 24²=576
  • 25²=625
• 25-50 两位数的平方 ab²
  • ab-25 结果作为百位；(50-ab)^2 结果作为个位；二者相加即可
  • 例如：37²的计算—— 37 - 25 = 12(00),（50 - 37）^2 = 169，1200+169=1369