生活总有烦心事？ 可能是你数学不好

生活总有烦心事：如何跟室友相（si）处（bi）？如何与心爱的 Ta 长相厮守（18岁以下不提倡）？如何把一块钱掰成两半花？下面是一份有数学依据的生活指南，希望能够帮到你。

困扰一：上铺打呼，下铺“吃鸡”，对面电话“撒狗粮”……失眠

解决方案：一只羊、两只羊、三只羊……什么是数？是羊？牧羊人的三根手指头？符号“3”？还是文字“三”或“III”？

你要是问上幼儿园的小朋友“什么是数”，他们会充满智慧地指一指盘子里的苹果，一个个数给你看。

计数一直伴随着人类生活：从狒狒腓骨上的一道道刻痕，到简单的绳结，这些都堪称人类早期智慧的证明。

当然，最开始为数学寻找“文字”的人并不是数学家——那时候哪里有什么数学家？或者说，数学家都还干着一些“正经行当”，比如哲人、教师、书记员、杂货商人、牧羊人……

大约在公元前 4000 年，人们用绳子把黏土块串成链，用来计数。但黏土块太容易被动手脚了，于是有人把黏土块裹在黏土里封存，这样，只有打破陶土壳，才能知道里面有多少黏土块。

公元前 3500 年开始，美索不达米亚人在陶土壳上刻上符号，列出裹在里面的黏土块数量——最后，终于有人想到：既然有了这些符号，还要壳里的黏土块干什么？数字的书写可能就源于这种图省事儿的想法。 问题貌似开心地解决了。然而，数学家们在此时觉醒，深沉地说：“数，没这么简单。”

德国数学家弗雷格发表了专著《算术基础》，为“数”制定了基本原则。简单来说，桌上有 7 只茶杯，计数为“1、2、3、4、5、6、7”。弗雷格认为，重要的不是数，而是这组茶杯——我们的目的是计数这一组茶杯。如果是不同组的茶杯，可能会得出不同的数字。弗雷格称这些组为“类”。

当你计数这个“类”包括多少茶杯时，便在茶杯的类和数字符号 1、2、3、4、5、6、7 之间建立了对应关系。同样，桌上还有 7 个茶碟。就算不用符号 1、2、3、4、5、6、7，也不知道茶杯和茶碟数量的情况下，我们仍然可以证明，茶碟的类所包含茶碟的数量与茶杯的类所包含茶杯的数量相同——你只要把茶杯一个个放在碟子上，一一对应就行了。把茶杯作为“标准类”去和碟子的类匹配，这就是计数。这和你用阿拉伯数字、罗马数字、汉字数字，都没关系。

你也许认为，这是关于数的最无趣的故事，但它解释了“什么是数”，而且或许有助于睡眠。

困扰二：缺钱，真的缺！

解决方案：开（少）源（上）节（淘）流（宝）。比卸载淘宝更能让人理智的，是查看存款的余额——余额为 0，方能四大皆空。

0 很晚才获得“数”的身份，因为彼时人类的想法很简单，比如中国人就觉得，没有了就空一个格；而古印度文明会用圆点代替一下“无”。0 的诞生，在西方历史上曾掀起过一场腥风血雨——空也罢，虚无也罢，都是魔鬼的代言人。

这里还要提示大家，网贷是沾不得的，毕竟比“0”还惨的就是“负数”。

已知最早的负数出现在中国汉朝的《九章算术》里，3 个红色算筹减去 4 个红色算筹会得到 1 个黑色算筹，所以，黑色的算筹代表“负债”，即负数。也可以说，古代中国和古印度的数学家开始使用负数的时候，0 才有了意义。

如今看着理所当然的数，曾经历了多少迷茫与惊恐？银行账户中的负数加减法不难理解：6+(-5)=1，可以理解为 6-5=1。

负数的乘法却是另一番折腾。乘法可以被当作重复的加法，6×5 就是 6 个 5 相加，所以 6×(- 5) 可以定义为 6 个 -5 相加，等于 -30。那么 (-6)×(-5) 呢？ -6 个 -5 怎么相加？答案是 30 还是 -30？

划个重点：关于数，很多答案和概念，其实都不是从自然界唾手可得的，而是人类人为定义的！当一个数的定义、概念行不通了，数学家就会耍个赖，要么人为重新定义它，要么索性引入新的数。

(-6)×(-5) 的答案就是人类的约定。如此一来，数学家们可以规定 (-6)×(-5) 等于任何东西，比如鲜花和芝麻烧饼，但数学家们不会胡来。(-6)×(-5) 的答案被最终定为 30。第一，如果 (- 6)×(-5) =-30，那么它与 (- 6)×5 相等。第二，我们卖个关子，你可以自己想想。

困扰三：桃园结义的困惑

解决方案：如果有人硬拉你“拜把子”，要跟你“不求同年同月同日生，但求同年同月死”，可你打心眼里不乐意，但又不好得罪他，那你不如先问问他：“咱们同年同月同日生的概率 是多少？”

如果他懵了，你的机会就来了。

假设一年有 365 天，我们不考虑人类繁殖的季节性偏好，也不考虑某些父母对于孩子必须属龙属猪的执念，同时，我们还要假设每个人的概率是相互独立的。如此一来，一个人在每天出生的概率完全相等，即 1/365。

• 当就你一个人时，生日不同的概率必然应该是 1。
• 当有两个人结拜时，另一个的生日必须与你不同，只能从剩下的 354 天里选，它发生的概率是 364/365。
• 在刘、关、张三个兄弟的情况中，张飞的生日必须与两位哥哥的不同。根据计算概率的规则，如果我们希望得到两个独立事件都发生时的概率，只需要把这两个概率相乘。因此，没有重复生日的概率是 (364/365)×(363/365)。
• 以此类推，当有 k 个人结拜时，所有 k 个人生日不相同的概率是：

“同学，咱们同年同月同日生的概率是 1-364/365。”

“一年有 365 个日出，那我就送你 365 个祝福吧。”

困扰四： 男女朋友“无理取闹”

解决办法：保持佛系，很多被视为“美”的，恰恰是“无理的”。

对大多数实际生活中的问题而言，有理数（也就是分数，即两个整数之比）已足够用了，但有些问题没有有理数的解。比如，边长为 1 的正方形的对角线长度，即 

， 这是一个无限不循环的小数，据说也是第一个被发现的无理数。

所以，数是“有理的”（rational）还是“无理的”（irrational），跟它讲不讲道理没啥关系。

于是，数学家又撞上了“死胡同”。但鲁迅先生说——不不！——提示得好：“世上本没有无理的数，你造一个，就有了无理数。”

无理数，既可以说是数学家的发现，也可以说是他们的发明。无理数家族包括众人皆知的 π，美轮美奂的黄金分割数 φ 和一般人不知道用来干嘛的自然对数的底 e，等等。

除了炒圆周率的冷饭，π 在其他地方也有不少故事。1784 年，欧拉发现了数 π、e 和 i （i 是 -1 的平方根，也有一段跌宕起伏的故事）之间的关系： e^iπ =− 1。 在数学家眼里，这个公式有着“无与伦比的美丽”——数学家的风筝在天上飞，地上的我们在地上追，这就足够了。

欧拉还解决了巴塞尔问题，旨在计算所有平方数的倒数之和。当时，有许多伟大的数学家试着去计算。欧拉在 1735 年算出了一个相当简洁的结果，让他在数学界声名鹊起。

此外，统计学中著名的钟形曲线，其下的面积正好等于 √π。

2019 年参加高考的孩子们一定永生难忘黄金分割数 φ。如果你再见到以下这张图里的任何图像，别犹豫，这一定是在讨论这个数。

φ = (1+ √5) / 2  或 φ =（√5-1）/2

两者约等于 1.618 或 0.618，它们互为倒数，表达的概念是一样的。有人说，毕达哥拉斯学派或达·芬奇把它定义为“黄金分割”，实在太无理了。但正如上图中看到的，自然界中充满了这一比例。

斐波那契数列在植物王国里很常见，例如，向日葵螺旋的几何学关键就是黄金分割数：将一个完整的圆（360°）按黄金比分割成两段弧，较长的弧所对应的角度是较短的弧的 ϕ 倍。于是，较短的弧长为整个圆的 1/1+φ 。这个角度就是日葵种子的几何结构呈现的“黄金角度”，约等于 137.5°。

人对黄金分割数的执念非常玄妙，人脸的宽度、眉间宽、上下身长比，以及牙齿、耳朵、口鼻的长度、宽度、间距，如果符合黄金分割的比例，都会让人天生觉得“美”。如果按照黄金分割的比例绘制图画、设计建筑，也会让人感到“舒服”。

上帝创造美，上帝创造“无理”。

最后，祝大家新学期有新收获，无论遇上什么困难，只要多读书、读好书，总会想得开的。

有空读读这本吧！写满了有关“数”的故事。如果有一天你对着自己的学霸女神侃侃而谈的时候，你一定是最酷的！