6893. 特别的排列

Description

Difficulty: 中等

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给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 n 个 互不相同 的正整数。如果 nums 的一个排列满足以下条件，我们称它是一个特别的排列：

• 对于 0 <= i < n - 1 的下标 i ，要么 nums[i] % nums[i+1] == 0 ，要么 nums[i+1] % nums[i] == 0 。

请你返回特别排列的总数目，由于答案可能很大，请将它对10⁹ + 7 取余 后返回。

示例 1：

输入：nums = [2,3,6]
输出：2
解释：[3,6,2] 和 [2,6,3] 是 nums 两个特别的排列。

示例 2：

输入：nums = [1,4,3]
输出：2
解释：[3,1,4] 和 [4,1,3] 是 nums 两个特别的排列。

提示：

• 2 <= nums.length <= 14
• 1 <= nums[i] <= 10⁹

Solution

排列问题时间复杂度为O(n!)，一般阶乘能支持最大10! ~= 10^{6，这里已经到了14，显然需要降低到2}n，因此需要用状态压缩。
只需要考虑将剩余的数字用二进制保存下来即可，然后dfs。
Language: Python3

class Solution:
    def specialPerm(self, nums: List[int]) -> int:
        MOD = 10 ** 9 + 7
        n = len(nums)
        
        @cache
        def dfs(i, rest):
            if rest == 0: return 1
            
            res = 0
            for j, num in enumerate(nums):
                if rest & (1 << j) and (nums[j] % nums[i] == 0 or nums[i] % nums[j] == 0):
                    res = (res + dfs(j, rest ^ (1 << j))) % MOD
            
            return res
        
        rest = (1 << n) - 1
        
        res = 0
        for i in range(n):
            res = (res + dfs(i, rest ^ (1 << i))) % MOD
        
        return res