标签：分析 频谱 周期 infin 离散 确定性 信号 傅里叶
信号可以用一个时间函数来表示
1 信号的表示
信号的形式多种多样，所以直接对信号本身进行分析和处理是比较困难的
常采用的方法是将
一般的复杂信号展开成各种类型的基本信号之和或积分
当信号通过线性系统时， 输出响应可以用这些基本信号的响应之和或积分来求取
基本信号的主要特点是：
实现比较简单 ，或者
分析比较简单，或都简单
信号表示的历史
最初较易产生与处理的信号是连续
简谐信号，所以都用简谐信号作为分解的基本信号
随着对离散信号的研究日益深入 ，可用做分解的基本信号也越来越多
Eg.
抽样信号（其极限是冲激函数）和
只有两值的函数（沃尔什函数）
信号表示的条件
把信号分解成一组基本信号的线性组合，这些基本信号的集合一般满足正交条件。
f1(t)与f2(t)正交的条件：$\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2^*(t)dt=0$
$f_2^*(t)$是f2(t)的共轭
k≠n时，可扩展到时间的无穷区间
$\int_{-\infin}^{\infin}f_k(t)f_n^*(t)dt=0$
周期信号的简谐波展开
一个周期为 T 的信号f(t)可分解为
w0 称为周期信号f(t)的基频（角频率）
在选取有限项来近似信号时 ，系数C_k在均方误差最小的意义上是最佳选取。
N→∞时 ，均方误差 E 趋于零 ，傅里叶级数之和趋近于周期信号f(t)
1.分析（英语：Analysis）是在头脑中把事物或对象由整体分解成各个部分或属性。
2.综合（Composite）是在头脑中把事物或对象的各个部分与属性联合为一个整体。
综合把分析过的对象或现象的各个部分、各个属性联合成一个统一的整体，与“分析”相对。
- 任意周期实信号可由其直流分量和各个相位为θk、 振幅为2|Ck|的谐波分量合成
- 周期实信号 f(t)， 还可以用一组｛coskw0t, sinkw0t｝ 的正交三角函数来组合表示
周期信号的离散频谱
k=0， 信号的直流分量
周期性矩形脉冲序列f(t)的傅里叶级数展开式
f(t)由各个基本信号e^{jkw0t}线性组合而成 ，系数C_k：各个基本信号的振幅和相位
借用
光谱学的术语，称{C_k}为周期信号的离散频谱
性质
1.线性：周期信号$af_1(t)+bf_2(t)$的离散频谱为$aC_{1k}+bC_{2k}$
2.对称性：
①
②周期实偶信号f(t)
（周期实信号）
（偶函数）
离散频谱$C_k$是$kw_0$的实偶函数，振幅谱以纵轴为中轴对称，相位谱为零
③周期实奇信号f(t)离散频谱$C_k$是$kw_0$的实偶函数，振幅谱以纵轴为中轴对称，相位谱奇对称
3.周期信号f(t)的平均功率$P=\frac{1}{T}\int_T|f(t)^2|dt$（按各谐波成分振幅大小分配给各分量）
其离散频谱为$C_k$时，平均功率$P=\sum_{k=-\infin}^\infin|C_k|^2$（表示信号功率分配规律）
信号的能量在时域和频域相等
4.截断离散频谱高频成分带来的失真——吉布斯现象
实际处理时会忽略无穷级数的一些项，此时会带来一些失真，可估计离散频谱忽略高频谱线后引入的误差
有限项截断后
①傅里叶级数最小均方误差意义上，对原信号最逼近。N→∞，误差将单调趋于0。
②【吉布斯现象】在f(t)的间断点有过冲，过冲高度不随N→∞减至0
下图方波，$t= \pm \frac{T}{4}$附近，叠加波形9%过冲
*抽样函数 Sax
有些文献中定义的辛格函数
与抽样函数的关系
周期性矩形脉冲序列f(t)频谱
周期T越大，其谱线间隔窄$\frac{2\pi}{T}$就越小，频谱越密
T→∞，信号为$\tau$宽度的单脉冲，频谱变连续，频谱包络不变
∴周期信号→非周期能量信号
能量型信号f(t)的能量是有限值（只在t1~t2存在，其他时间之外为0）
f(t)以T重复，但不重叠→f_T(t)信号（T>t2-t1）
周期信号蜕变为能量信号
傅里叶级数展开
傅里叶级数 （T内，f_T(t)=f(t)；其他时间，f(t)=0）
包络$TC_k=F(w)=\int_{-\infin}^{\infin}f(t)e^{-jwt}dt$
此后
当$T→∞，f_T(t)→f(t),w0→t$，上式右边变成积分
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}F(w)e^{jwt}dw$
傅里叶变换对
非周期能量信号也可以在频率域上表示，
F(w)是f(t)的连续频谱
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