实验五：MATLAB最优化工具箱的使用
一、实验目的
通过一个农业生产计划优化安排的实例求解，培养学生解决实际线性规划问题的初步能力；熟 悉线性规划的建模过程； 掌握 Matlab 优化工具箱中线性规划函数的调用。
二、实验内容
某村计划在 100 公顷的土地上种植 a 、b 、c 三种农作物。可以提供的劳力、粪肥和化肥等资源 的数量，种植每公顷农作物所需这三种资源的数量，以及能够获得的利润如表所示。
种植投入产出表
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|
用 工 |
粪肥(吨) |
化肥(千克) |
利润(元) |
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a |
450 |
35 |
350 |
1500 |
|
b |
600 |
25 |
400 |
1200 |
|
c |
900 |
30 |
300 |
1800 |
|
可提供资源 |
63000 |
3300 |
33000 |
|
其中一个劳动力干一天为 1 个工。现在要求为该村制定一个农作物的种植计划，确定每种农作 物的种植面积， 使得总利润最大。
三、算法步骤、代码、及结果
1. 算法步骤
设x1，x2，x3分别表示农作物A，B，C的种植面积
问题模型：
max z = 1500x1 + 1200x2 + 1800x3
s.t.
x1 + x2 + x3 = 100
450x1 + 600x2 + 900x3 <=63000
35x1 + 25x2 + 30x3 <=3300
350x1 + 400x2 + 300x3 <=33000
x1, x2, x3 >= 0
2. 代码
>>f=[1500 1200 1800]';
>> f=-f;
>> a=[450 600 900;35 25 30;350 400 300];
>> b=[63000 3300 33000]';
>> acq=[1 1 1];
>> aeq=[1 1 1];
>> beq=[100];
>> lb=zeros(3,1);
>> [x,fval,exitflag,output,lamdba]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb)
3. 结果
x =
60.0000
0.0000
40.0000
fval =
-1.6200e+05
exitflag =
1
output =
iterations: 5
algorithm: 'interior-point-legacy'
cgiterations: 0
message: 'Optimization terminated.'
constrviolation: 1.8917e-10
firstorderopt: 1.6385e-08
lamdba =
ineqlin: [3x1 double]
eqlin: -1.1927e+05
upper: [3x1 double]
lower: [3x1 double]
最优种植方案为种植A作物60公顷，B作物0公顷，C作物40公顷，总利润16200元
问题二：
- 算法步骤：
该问题可以用二次规划来求解。首先，我们需要确定这个问题的数学模型。
设点（ Xi , X , Xy ）到超平面 Ax = b 的最短距离为 d ．则该问题的目标是求最短距离 d ，即：
min
而约束条件为点（,,）在超平面 Ax = b 上，因此有：
Ax = b
同时， d 表示所求的距离，可以表示为：
df =
将 of 表示成决策变量的形式，得到：
d = xTx
其中 X =[ X ]，为，为 g ] T ，为决策变量。因此，我们可以列出如下的二次规划模型：
min XX
s . t . Ax = b
xERs
接下来，使用 MATLAB 的二次规划函数 quadprog 求解该模型：
- 代码：
% 构造二次规划模型
H = 2 * eye(3);
f = zeros(3,1);
Aeq = [1 1 0; 1 0 1];
beq = [1;0];
x0 = [0; 0; 0];
% 调用quadprog函数求解
[x,fval] = quadprog(H, f, [], [], Aeq, beq, [], [], x0);
- 结果：
x =
0.3333
0.3333
-0.6667
fval =
0.6667
四、心得体会
本次实验主要学习了MATLAB最优化工具箱在线性规划和二次规划问题中的应用。通过实例求解，掌握了利用函数linprog和quadprog求解线性规划、二次规划问题的方法。
实验中，我们需要先将问题转化为数学模型，定义目标函数和约束条件，并注意限制面积、非负等特殊条件的处理。然后，我们就可以使用工具箱中对应的函数进行求解，得到最优解和最优值。
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