bloom filter

标签：Filter 哈希 bloom filter 数组集合 Bloom

在javaEyes上找到一篇挺有用的文章，希望能对大家理解Bloom filter有帮助

1 Overview

Bloom filter最早由 Burton Howard Bloom提出，是一种用于判断成员是否存在于某个集合中的数据结构。 Bloom filter的判断基于概率论：

如果某个成员存在于集合中，那么Bloom filter不会返回假（即不存在），也就是说false negative是不可能的。
Bloom filter可能返回真（即存在），这种情况被称为false positive。
（hbase的hfile使用bloom fitler，可以确定的告诉你指定的rk不在当前hfile中，但是不确定他是否在当前hfile中）

Bloom filter通常被实现为一个包含 m 位的位数组（bit array），所有位的初始值都为0。Bloom filter支持以下两种类型的操作：

add。将成员添加到Bloom filter中。以该成员为参数调用 k 个索引函数（index functions），得到 k 个位数组的索引值，取值范围是 [0, m)，然后将位数组的对应位设置为1。
query。判断某个成员是否已经添加到Bloom filter中。以该成员为参数调用 k 个索引函数，得到 k 个位数组的索引值，然后根据这些索引值检查位数组：当位数组中所有的对应位均为1时，那么认为该成员已经存在。

如果query的结果为真（即positive），那么实际上存在以下两种可能性：

该成员已经被add到集合中，即该成员的确存在。
该成员未被add到集合中，但是query过程中检查的所有位均被设置为1（由于添加的其它成员导致）。这种情况被称为false positive。

传统的Bloom filter 不支持从集合中删除成员。对于每个添加到Bloom filter中的成员，实际上将其位数组中的 k 位设置为1。尽管将这些位重置为0可以保证从Bloom filter中删除该成员，但是这样做的副作用是可能会影响某些其它成员，因为其它成员也可能被映射到这些被重置为0的位中的一位或者多位，从而最终导致false negatives。对于Bloom filter而言，false negatives是不被允许的。 Counting Bloom filter由于采用了计数，因此支持remove操作。

Bloom filter 使用的 k 个index functions，有时也被称为hash functions，它们通常被假定为彼此独立，返回值在可能的取值范围内均匀分布（这是以下一系列数学证明的基础）。

2 The Math

Bloom filter的基本概念并不复杂，接下来分析一下query操作对某个未被添加的成员返回positive（即false positive）的概率：

假设p是位数组中某一位为1的概率，那么false positive的概率是 p^k 。如果n是已经添加到Bloom filter中的成员个数，那么 p = 1 – (1 – 1/m)^nk，经过一系列推导得到 p ≈ （ 1 – e^-kn/m ） ^k， k = m / n * ln2 时（ln 即 log_e ），p为最小值。例如当k = 8， m/n = 10时， false positive的理论值为0.00846。以下是段计算false positive的实例代码：

Java代码
1. public static double calculateFalsePositiveProbability(int k, int m, int n) {   
2. 1
3. }

对于某些应用而言，false positive的概率已经是一个足够好的判断Bloom filter准确性的指标，Peter C.Dillinger 和 Panagiotis Manolios 在其Bloom Filters in Probablistic Verfification的论文中指出，对于query过程中的不确定性， state omission 是一个更合适的指标。建议感兴趣的读者阅读该论文，顺便也可以复习一下相关的数学知识。

3 Refinement

So far, so good。跟普通的HashMap相比， Bloom filter不需要在内存中保存key和value，而是位数组中的若干个位即可，这在内存使用上是个巨大的节省，当然前提是能容忍一定概率的false positives。但是传统的Bloom filter存在以下两个严重的缺陷：

为了保证足够低的false positive概率，通常索引函数的个数 k 比较大（例如十几甚至几十，但通常不超过32）。能找到这么多个random，uniform and independent的索引函数并不是一件容易的事情。
数量众多的索引函数，导致add和query的性能不高。

Peter C.Dillinger 和 Panagiotis Manolios在其论文中指出，fingerprinting Bloom filter可以有效地减少索引函数的个数，并且对准确性的影响可以小到忽略。这对于传统的Bloom filter来说，是个重大的改进。笔者使用了其中介绍的triple hashing，认为效果比较明显。

4 Implementation

如果Google以Java实现的Bloom filter， java-bloomfilter 可能是最容易找到的实现之一。它采用的是传统的Bloom filter算法：使用的 k 个索引函数（默认都是MD5），只是索引函数在进行计算时对参数的加盐（salting）不同而已。笔者认为 java-bloomfilter 的性能可能有待提升。

Hadoop common的util包中也提供了一个Bloom Filter的实现，此外其hash包还提供了JenkinsHash 和 MurmurHash 两个Hash算法。笔者感觉Hadoop 的Bloom filter的实现方式类似fingerprinting Bloom filter，但是没有使用double hashing 或者tripple hashing。

此外关于位数组的实现方式，可能最直接想法的是使用java.util.BitSet。不过笔者认为如果处理的数据量很大、或者性能要求比较高，那么不建议使用java.util.BitSet，因为java.util.BitSet的内存使用方式、总体性能都不是很理想。

5 Reference
1. Bloom Filters in Probablistic Verfification. Peter C.Dillinger and Panagiotis Manolios
2. Hadoop的Bloom filter实现。http://hadoop.apache.org/common/
3. java-bloomfilter.  http://code.google.com/p/java-bloomfilter/

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Bloom Filter概念和原理

焦萌 2007年1月27日

Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。因此，Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。

bloom filter_join

为了表达S={x₁, x₂,…,x_n}这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置h_i(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。

bloom filter_join_02

在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函数，如果所有h_i(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。下图中y₁就不是集合中的元素。y₂或者属于这个集合，或者刚好是一个false positive。

bloom filter_bloom filter_03

错误率估计

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x₁, x₂,…,x_n}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：

bloom filter_hbase_04

其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e^-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：

bloom filter_hadoop_05

令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：

bloom filter_bloom filter_06

(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)^k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明^[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

bloom filter_hbase_07

bloom filter_join_08

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e^−kn/m))，我们令g = k ln(1 − e^−kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e^-kn/m，我们可以将g写成

bloom filter_hadoop_09

根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)^k≈(0.6185)^m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)^kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)^kn)，p’ = (1 − 1/m)^kn，我们可以将g’写成

bloom filter_hadoop_10

同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。

假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够є (u - n)个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示

bloom filter_hbase_11

个集合。m位的位数组共有2^m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示

bloom filter_hbase_12

个集合。全集中n个元素的集合总共有

bloom filter_join_13

个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有

bloom filter_bloom filter_14

即：

bloom filter_hadoop_15

上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于n log₂(1/є)才能表示任意n个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)^k= (1/2)^{mln2 / n}。现在令f≤є，可以推出

bloom filter_join_16

这个结果比前面我们算得的下界n log₂(1/є)大了log₂e ≈1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后，Bloom Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域获得了新生，各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，Bloom Filter必将获得更大的发展。

参考资料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.

[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.

[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf

[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt

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