首页 > 其他分享 >数据结构(I)

数据结构(I)

时间:2023-06-04 15:13:32浏览次数:38  
标签:10 数据结构 int find le include 节点

1 链表

1.1 单链表

模板AcWing 826. 单链表

题目

实现一个单链表,实现以下 \(3\) 种操作:

  • H x 向链表头插入一个数 \(x\);
  • D x 删除第 \(x\) 个插入的数(若 \(x=0\),表示删除头结点);
  • I k x 在第 \(k\) 个插入的数后插入一个数 \(x\)(保证 \(k>0\))。

给你 \(m\) 次操作,输出最终链表。\(1\le m\le 10^5\)。

思路

我们定义,\(\texttt{head}\) 指向头结点,数组 \(e\) 存储每个点的值,数组 \(ne\) 存储每个点的后继,\(idx\) 表示当前节点编号。初始时,\(\texttt{head}=-1,idx=0\)。

图2-1

如图 \(\texttt{2-1}\) 展示了一个链表。其中,\(\texttt{head}\) 指针指向头结点。然后我们来思考如何实现 \(3\) 种操作。

图2-2

如图 \(\texttt{2-2}\) 展示了操作 H x 的方式。将 \(e_{idx}\) 设为 \(x\),\(ne_{idx}\) 设为 \(\texttt{head}\),然后让 \(\texttt{head}\) 指向 \(idx\),最后 \(idx:=idx+1\)。

图2-3

如图 \(\texttt{2-3}\) 展示了删除在 \(x\ne 0\) 时的删除操作 D x 的方式,即将 \(ne_{x-1}:=ne_{ne_{x-1}}\) 即可。

删除头结点也可以用类似的方法。

图2-4

如图 \(\texttt{2-4}\) 展示了操作 I k x 的方式。即先将 \(e_{idx}\) 设为 \(x\),\(ne_{idx}=ne_k\),\(ne_k=idx\),最后 \(idx:=idx+1\)。

最后输出时,从头结点开始遍历,直到 \(ne_i=-1\) 标志着链表结束。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int m;
int e[N], ne[N], head, idx;

void add_head(int x) { //头插入(图2.2)
    e[idx] = x, ne[idx] = head, head = idx, idx ++;
}

void add(int k, int x) { //中间插入(图2.4)
    e[idx] = x, ne[idx] = ne[k], ne[k] = idx, idx ++;
}

void del_head() { //删除头结点
    head = ne[head];
}

void del(int k) { //删除中间节点(图2.3)
    ne[k] = ne[ne[k]];
}

int main() {
    scanf("%d", &m);
    
    head = -1, idx = 0; //初始化
    while (m -- ) {
        char op;
        cin >> op;
        if (op == 'H') { //头插入
            int x;
            scanf("%d", &x);
            add_head(x);
        } else if (op == 'D') { //删除节点
            int x;
            scanf("%d", &x);
            if (x == 0) del_head();
            else del(x-1); //注意删掉的是x-1而非x
        } else { //中间插入
            int k, x;
            scanf("%d%d", &k, &x);
            add(k-1, x);
        }
    }
    
    for (int i = head; i != -1; i = ne[i]) printf("%d ", e[i]);
    return 0;
}

1.2 双链表

模板AcWing 827. 双链表

题目

实现一个双链表,实现以下 \(5\) 种操作:

  • L x 向链表头插入一个数 \(x\);
  • R x 向链表尾插入一个数 \(x\);
  • D x 删除第 \(x\) 个插入的数;
  • IL k x 在第 \(k\) 个插入的数左侧插入一个数 \(x\);
  • IR k x 在第 \(k\) 个插入的数右侧插入一个数 \(x\)。

给你 \(m\) 次操作,输出最终链表。\(1\le m\le 10^5\)。

思路

我们定义,\(e\) 数组存储每个节点的值,\(l\) 数组存储每个节点的左侧节点,\(r\) 数组存储每个节点的右侧节点,\(idx\) 表示已使用的节点的编号。方便起见,不妨设 \(0\) 号节点为链表的头结点,\(1\) 号节点为链表的尾结点。那么显然有 \(r_0=1,l_1=0\),初始时 \(idx=2\)。

仿照单链表,考虑插入操作 IR k x

首先将第 \(idx\) 个节点赋值为 \(x\)。 然后更新 \(idx\) 的左右节点,即 \(l_{idx}=k,r_{idx}=r_{l_{idx}}\)。 再更新 \(r_{idx}\) 的左侧节点为 \(idx\),\(l_{idx}\) 的右侧节点为 \(idx\)。

插入操作 IL k x 也可以视作在 \(l_k\) 右侧插入节点,即 IR l[k] x. L x 可以视作在 \(0\) 号节点右侧插入节点,即 IR 0 x;同理 R x 可视作在 \(1\) 号节点左侧插入节点,即 IR l[1] x.

最后考虑删除操作 D x. 显然 \(l_{r_x}:=l_x,r_{l_x}:=r_x\)。

最后从 \(r_0\) 节点开始遍历所有节点,直到遍历到 \(1\) 号节点标志着链表结束。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int m;
int e[N], l[N], r[N], idx; 
//e数组存储每个节点的值,l数组存储每个节点左侧节点的编号,r节点存储每个节点右侧节点的编号

void add(int k, int x) {
    e[idx] = x; //将idx号点的值设为x
    l[idx] = k, r[idx] = r[k]; //更新idx的左右节点
    l[r[k]] = idx, r[k] = idx; //更新idx的左节点的右节点和右节点的左节点
    idx ++; 
}

void del(int k) {
    l[r[k]] = l[k];
    r[l[k]] = r[k];
}

int main() {
    scanf("%d", &m);
    
    r[0] = 1, l[1] = 0, idx = 2; //0表示头结点,1表示尾结点
    
    while (m -- ) {
        string op;
        cin >> op;
        if (op == "L") {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            add(0, x); //在头节点插入
        } else if (op == "R") {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            add(l[1], x); //在尾结点插入
        } else if (op == "D") {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            del(x+1); //删除第x个插入的数
        } else if (op == "IR") {
            int k, x;
            scanf("%d%d", &k, &x);
            add(k+1, x); //在第k个插入的数右侧插入x
        } else {
            int k, x;
            scanf("%d%d", &k, &x);
            add(l[k+1], x); //在第k个插入的数左侧插入x,相当于在l[k]右侧插入x
        }
    }
    
    for (int i = r[0]; i != 1; i = r[i]) printf("%d ", e[i]);
    return 0;
}

2 栈

2.1 模拟栈

模板AcWing 828. 模拟栈

题目

实现一个栈,支持以下 \(4\) 种操作:

  • push x 向栈顶插入一个数 \(x\);
  • pop 从栈顶弹出一个元素;
  • empty 判断栈是否为空;
  • query 查询栈顶元素。

给你 \(m\) 次操作。对于每次 emptyquery 操作,输出对应结果。\(1\le m\le 10^5\)。

思路

栈是一种先进后出的数据结构。

我们可以维护一个头指针 \(tt\),指向栈顶的下一个位置(初始时 \(tt=1\));同时维护 \(q\) 数组表示栈。

对于每次 push 操作,将 \(x\) 的值赋给 \(q_{tt}\) 即可,然后 \(tt:=tt+1\)。

对于每次 pop 操作,将 \(tt\) 减少 \(1\) 即可。

对于每次 empty 操作,若 \(tt=1\) 说明栈空,否则栈不空。

对于每次 query 操作,输出 \(q_{tt-1}\) 即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int m;
int tt = 1; //尾指针
int q[N]; //栈

int main() {
    scanf("%d", &m);
    while (m -- ) {
        string op;
        cin >> op;
        if (op == "push") {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            q[tt ++] = x; //向栈顶插入元素
        } 
        else if (op == "pop") tt --; //弹出栈顶元素
        else if (op == "empty") { //判断栈是否为空
            if (tt == 1) puts("YES");
            else puts("NO");
        } 
        else printf("%d\n", q[tt-1]); //输出栈顶元素
    }
    
    return 0;
}

例题AcWing 3302. 表达式求值

题目:给你一个表达式,其中的符号只包含 +-*/ 和左右括号,计算它的值。表达式的长度不超过 \(10^5\)。

思路

开两个栈,分别存储运算数和运算符。然后扫描整个表达式:

  • 若当前字符为数字,则提取出整个数,加入运算数栈中。
  • 若当前字符为 (,直接加入运算符栈中。
  • 若当前字符为 ),计算括号内表达式的值,将其结果加入运算数栈中。
  • 若当前字符为四则运算符,将运算符栈顶的运算符与当前字符比较,若当前字符的优先级较高,则直接加入运算符栈中;否则计算之前表达式的值,再将当前字符入栈。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <unordered_map>

using namespace std;

stack<int> nums;
stack<char> op;

void eval() { //计算中缀表达式的值
    int b = nums.top(); nums.pop();
    char oper = op.top(); op.pop();
    int a = nums.top(); nums.pop();
    
    int c;
    if (oper == '+') c = a + b;
    else if (oper == '-') c = a - b;
    else if (oper == '*') c = a * b;
    else c = a / b;
    
    nums.push(c);
}

int main() {
    string s;
    cin >> s;
    
    unordered_map<char, int> pr{{'+', 1}, {'-', 1}, {'*', 2}, {'/', 2}}; //每个符号的运算优先级
    for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
        char c = s[i];
        if (isdigit(c)) {
            int x = 0; //提取出操作数x
            while (isdigit(s[i]) && i < s.size()) {
                x = x * 10 + s[i] - '0';
                i ++;
            }
            i --;
            nums.push(x);
        }
        else if (c == '(') op.push(c);
        else if (c == ')') { //如果是右括号,从右向左计算出整个括号的值
            while (op.top() != '(' && op.size()) eval();
            op.pop();
        }
        else { //如果是运算符,那么按运算顺序计算
            while (op.size() && op.top() != '(' && pr[op.top()] >= pr[c]) eval();
            op.push(c);
        }
    }
    
    while (op.size()) eval(); //求出最终表达式的值
    cout << nums.top() << endl;
    return 0;
}

2.2 单调栈

例题AcWing 830. 单调栈

题目:给你一个包含 \(n\) 个元素的数组 \(a\),输出每个数左边比它小的第一个数,如果没有则输出 \(-1\)。 \(1\le n\le 10^5\)。

思路

首先,我们知道一个结论:若 \(a_i>a_j\) 且 \(i<j\),那么 \(a_i\) 对 \(a_j\) 以后的答案没有影响。证明:对于 \(a_k\;(k>j)\),若 \(a_i<a_k\),则 \(a_j\) 必定比 \(a_i\) 更优;若 \(a_i\ge a_k\) 则 \(a_i\) 不可能为答案。

结合上述结论,我们可以维护一个单调栈 \(\texttt{nums}\)。 对于每个元素 \(a_i\),若 \(\texttt{nums}\) 则输出 \(-1\)。 否则从栈顶开始遍历每个元素,若栈顶元素大于 \(a_i\) 则将其弹出,直到栈顶元素小于 \(a_i\) (输出此时的栈顶元素)或栈为空(输出 \(-1\))。最后将 \(a_i\) 压入栈即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <stack>

using namespace std;

int n;
stack<int> nums; //单调栈

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        if (!nums.size()) printf("-1 "); //栈为空
        else {
            while (nums.size() && nums.top() >= x) nums.pop(); //找到第一个<x的元素
            if (!nums.size()) printf("-1 ");
            else printf("%d ", nums.top());
        }
        nums.push(x); //将x加入栈
    }
    return 0;
}

3 队列

3.1 模拟队列

模板AcWing 829. 模拟队列

题目

实现一个队列,支持以下 \(4\) 种操作:

  • push x 向队尾插入一个数 \(x\);
  • pop 从队头弹出一个元素;
  • empty 判断队列是否为空;
  • query 查询队头元素。

给你 \(m\) 次操作。对于每次 emptyquery 操作,输出对应结果。\(1\le m\le 10^5\)。

思路

维护一个数组 \(q\) 和两个指针 \(hh\) 和 \(tt\),分别指向队头和队尾。初始时 \(hh=tt=0\)。

对于 push x 操作,令 \(q_{tt}=x,tt:=tt+1\) 即可;对于 pop 操作,\(hh:=hh+1\)即可;对于 empty 操作,若 \(hh=tt\) 说明队列为空,否则说明队列不空;对于 query 操作,输出 \(q_{hh}\) 即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int m;
int hh, tt; //hh指向队头,tt指向队尾
int q[N]; //模拟队列

int main() {
    scanf("%d", &m);
    while (m -- ) {
        string op;
        cin >> op;
        if (op == "push") {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            q[tt ++] = x; //队尾插入
        } 
        else if (op == "pop") hh ++; //弹出队头
        else if (op == "empty") { //判断是否为空
            if (hh == tt) puts("YES");
            else puts("NO");
        }
        else printf("%d\n", q[hh]); //询问队头
    }
    
    return 0;
}

3.2 单调队列

例题AcWing 154. 滑动窗口

题目:给定一个长度为 \(n\) 的数组和一个长度为 \(k\) 的滑动窗口。滑动窗口从数组的最左侧移动到最右侧,你需要求出每次滑动窗口内的最小值和最大值。\(1\le k\le n\le 10^6\)。

思路

维护一个单调队列 \(q\)(其中存储的是原数组的下标),初始时,\(hh=0,tt=-1\)。 这里以最小值为例,遍历整个数组,对于 \(a_i\),若:

  1. 若队头 \(q_{hh}\le i-k\),说明此时队头已超出窗口范围,弹出队头;
  2. 弹出队尾,直到 \(a_i<a_{q_{tt}}\);
  3. 将 \(i\) 加入队列;
  4. 输出 \(a_{q_{hh}}\),即滑动窗口内的最小值。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

int n, k, hh, tt;
int a[N], q[N]; //q存储的是原数组下标

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    hh = 0, tt = -1; //初始化队头队尾
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (hh <= tt && q[hh] <= i-k) hh ++; //如果队头超出了滑动窗口的范围则将其弹出
        while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt --; //弹出队尾直到ai能够加入队列
        q[++ tt] = i; //将t加入队列
        
        if (i >= k) printf("%d ", a[q[hh]]); //输出队头(最小值)
    }
    
    puts("");
    
    hh = 0, tt = -1; //与求最小值基本一致
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (hh <= tt && q[hh] <= i-k) hh ++;
        while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt --;
        q[++ tt] = i;
        
        if (i >= k) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    
    return 0;
}`

4 KMP 字符串算法

模板AcWing 831. KMP字符串

题目:给定一个长度为 \(m\) 的匹配串 \(S\) 和一个长度为 \(n\) 的模式串 \(P\),求出 \(P\) 在 \(S\) 中所有出现位置的起始下标。\(1\le n\le 10^5,1\le m\le 10^6\)。

思路

约定:本题中字符串的下标均从 \(1\) 开始。

首先定义 \(ne\) 数组:\(ne_{i}\) 表示 \(P[1\cdots i]\) 的最长公共前后缀的长度,且 \(ne_i<i\)。 特别地,\(ne_1=0\)。

然后我们来思考如何求出 \(ne_i\)。

图2-5

如图 \(\texttt{2-5}\) 展示了 \(ne\) 数组的计算方式。设 \(ne_{i-1}=j\),若 \(P_{j+1}=P_i\),根据 \(ne\) 数组的定义,有 \(P[1\cdots j]=P[i-j\cdots i-1]\), 那么 \(ne_{i}=j+1\);否则再尝试将 \(ne_j\) 与 \(i\) 进行匹配,直到无法匹配为止。

得到 \(ne\) 数组后,就可以进行 \(\texttt{KMP}\) 字符串匹配。

图2-6

如图 \(\texttt{2.6}\) 展示了 \(\texttt{KMP}\) 字符串匹配的方式。假设 \(S[i-j\cdots i-1]\) 和 \(P[1\cdots j]\) 已经匹配,若 \(S_i=P_{j+1}\) 则继续匹配;否则 \(j=ne_j\),继续尝试匹配。若全部匹配成功,输出 \(i-n\) 即可。

时间复杂度 \(O(n+m)\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10, M = 1e6+10;

int n, m;
char p[N], s[M]; //模式串和匹配串
int ne[N]; //ne[i]存储p中第i个字符的最长公共前后缀长度

int main() {
    cin >> n >> p+1 >> m >> s+1;
    
    ne[1] = 0;
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) { //求出ne数组
        while (j && p[i] != p[j+1]) j = ne[j];
        if (p[i] == p[j+1]) j ++;
        ne[i] = j;
    }
    
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; ++i) { //kmp 字符串匹配
        while (j && s[i] != p[j+1]) j = ne[j];
        if (s[i] == p[j+1]) j ++;
        if (j == n) {
            printf("%d ", i-n);
            j = ne[j];
        }
    }
    
    return 0;
}

5 Trie 树

5.1 字典 Trie

模板AcWing 835. Trie字符串统计

题目

维护一个字符串集合,支持两种操作:

  • I s 插入一个字符串 \(s\);
  • Q s 询问字符串 \(s\) 出现的次数。

给你 \(n\) 次操作。\(1\le n\le 2\times 10^4,1\le \text{len}(s)\le 10^5\) 且 \(s\) 中只包含小写字母(\(\text{len}(s)\) 表示 \(s\) 的长度)。

思路

维护一棵 \(\texttt{Trie}\) 树(字典树)。

如果现在有 \(8\) 个字符串:\(\texttt{abcd,aacd,aabc,aabc,acd,bb,bbc,cdab}\),那么它们所构成的 \(\texttt{Trie}\) 树如图 \(\texttt{2.7}\):

图2-7

其中,\(idx\) 表示每个节点的编号,\(cnt_i\) 表示以第 \(i\) 个节点为结尾的字符串的数量。另外我们还需要维护一个数组 \(son\),\(son_{i,j}\) 存储 \(i\) 号节点的第 \(j\) 个儿子的编号。

对于每次插入操作,从根节点开始遍历,若某个节点不存在则将其加入 \(\texttt{Trie}\) 树。对于每次查找操作,从根节点开始遍历,若某个节点不存在则直接返回 \(0\)。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n;
int son[N][26], cnt[N], idx; //son存储节点编号,cnt存储每个节点的数量
//0号节点既是根节点,也是空节点

void insert(string s) { //插入一个字符串s
    int p = 0; //从根节点开始遍历
    for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
        int u = s[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx; //如果该节点不存在,则插入新节点
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p] ++;
}

int query(string s) { //查询s出现的次数
    int p = 0;
    for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
        int u = s[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) return 0; //如果该节点不存在,直接返回0
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p]; 
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    while (n -- ) {
        char op; string s;
        cin >> op >> s;
        if (op == 'I') insert(s);
        else cout << query(s) << endl;
    }
    return 0;
}

5.2 01 Trie

例题AcWing 143. 最大异或对

题目:给你 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\),找出一个数对 \((i,j)\),使得 \(a_i\oplus a_j\) 最大。\(1\le n\le 10^5,0\le a_i\le 2^{31}\)。

思路;

异或运算 \(\oplus\) 相当于不进位的加法。我们可以构建一棵由 \(0\) 和 \(1\) 构成的 \(\texttt{Trie}\) 树,对于每个数 \(a_i\),遍历 \(\texttt{01 Trie}\) 树找到与其异或的最大值即可。

例如,对于数组 \(a=[2,3,4,5,6]\),由将其全部由二进制表示并插入 \(\texttt{01 Trie}\) 树,可得:

图2-8

以数 \(4\) 为例,演示通过 \(\texttt{01 Trie}\) 找到与 \(4\) 异或后的最大值:

图2-9

如图 \(\texttt{2.9}\),\(4\) 异或后的最大值为 \(7\)。 那么如果找不到某一个数怎么办呢?以数 \(6\) 为例,演示通过 \(\texttt{01 Trie}\) 找到与 \(6\) 异或后的最大值:

图2-10

如图 \(\texttt{2-10}\),\(6\) 异或后的最大结果为 \(5\)。

通过 \(\texttt{01 Trie}\),可以将暴力 \(O(n^2)\) 的复杂度降至约 \(O(10^5\times 31)=O(3\times 10^6)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10, M = 3e6+10;

int n, a[N];
int son[M][2], idx; //son存储子节点

void insert(int x) { //将一个数x插入01Trie
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        int s = x >> i & 1;
        if (!son[p][s]) son[p][s] = ++ idx; //如果子节点不存在,则创建新节点
        p = son[p][s];
    }
}

int query(int x) { //查询x的最大异或结果
    int p = 0, res = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        int s = x >> i & 1; //存储x的二进制表示的倒数第i+1位的数
        if (son[p][!s]) res += 1 << i, p = son[p][!s]; 
        else p = son[p][s];
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        insert(a[i]);
    }
    
    int maxl = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) maxl = max(maxl, query(a[i]));
    printf("%d\n", maxl);
    return 0;
}

6 并查集

模板AcWing 836. 合并集合

题目

初始时一共有 \(n\) 个数 \(1\sim n\),每个数都在各自的集合中。给你 \(m\) 次操作:

  • M a b 表示将数 \(a\) 所在的集合和数 \(b\) 所在的集合合并;
  • Q a b 表示询问数 \(a\) 和数 \(b\) 是否在一个集合中。

\(1\le n,m\le 10^5\)。

思路

并查集的思想是将每个集合视作一棵树,那么所有集合就可以视作一个森林。定义一个数组 \(p\),存储每个数的父亲。初始时,所有节点的父亲都是自己,即 \(p_i=i\)。 另外我们定义一个函数 \(find(x)\),表示寻找 \(x\) 的祖宗节点。

对于 M 操作,我们可以令 \(p_{find(a)}=find(b)\),即将 \(a\) 的祖宗的父亲设为 \(b\) 的祖宗;对于 Q 操作,若 \(find(a)=find(b)\) ,即 \(a\) 的祖先和 \(b\) 的祖先相同,则说明数 \(a\) 和数 \(b\) 在同一个集合中。

在并查集的 \(find(x)\) 函数中,我们可以使用“路径压缩”的方式来加快速度。即将 \(x\) 的祖宗设为 \(x\) 的父亲,同时将查找路径上的所有点的父亲都设为 \(x\) 的祖宗。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。 若增加“按秩合并”优化,可使时间复杂度进一步降低至 \(O(n\alpha(n))\),其中 \(\alpha(n)\) 为反阿克曼函数。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n, m;
int p[N];

int find(int x) { //查找x的祖先
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); //路径压缩
    return p[x];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
    
    char op; int a, b;
    while (m -- ) {
        cin >> op >> a >> b;
        if (op == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else (find(a) == find(b)) ? puts("Yes") : puts("No");
    }
    
    return 0;
}

例题AcWing 837. 连通块中点的数量

题目

初始时,给你一个包含 \(n\) 个点的图(无边)和 \(m\) 次操作:

  • C a b 表示在 \(a\) 和 \(b\) 之间连一条无向边;
  • Q1 a b 表示询问 \(a\) 和 \(b\) 是否位于一个连通块内;
  • Q2 a 表示询问 \(a\) 所在的连通块的大小。

\(1\le n,m\le 10^5\)。

思路

除了维护一个 \(p\) 数组存储每个节点的父亲节点,我们还需要维护一个 \(s\) 数组来存储每个连通块的大小。注意,\(s_i\) 当且仅当 \(i\) 为祖宗节点时才有意义,表示以 \(i\) 为祖宗节点的连通块的大小。

合并时,若 \(a\ne b\),先将两个连通块的大小相加,即 \(s_{find(b)}:=s_{find(b)}+s_{find(a)}\),然后再 \(p_{find(a)}:=find(b)\)。 其他与并查集完全相同。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n, m;
int p[N], s[N]; //s存储每个集合内的连通块数量(只在下标为祖宗节点时有意义)

int find(int x) { //并查集
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i, s[i] = 1;
    
    while (m -- ) {
        string op; 
        cin >> op;
        if (op == "C") { //合并集合
            int a, b;
            cin >> a >> b;
            if (find(a) != find(b)) s[find(b)] += s[find(a)], p[find(a)] = find(b); //要先加上数量再合并
            //注意,只需要当a,b在不同联通块时才能进行合并,否则会导致一个连通块内点的数量翻倍
        } else if (op == "Q1") { //查询是否位于同一个连通块内
            int a, b;
            cin >> a >> b;
            (find(a) == find(b)) ? puts("Yes") : puts("No");
        } else { //查询连通块内点的数量
            int a;
            cin >> a;
            printf("%d\n", s[find(a)]);
        }
    }
    return 0;
}

例题AcWing 240. 食物链

题目

有 \(3\) 种动物 \(A,B,C\),\(A\) 吃 \(B\),\(B\) 吃 \(C\),\(C\) 吃 \(A\)。有 \(N\) 种动物,从 \(1\sim N\) 编号,每个动物都是 \(A,B,C\) 中的一种。

有人用 \(2\) 种说法对这 \(N\) 种动物进行描述:

  • 1 X Y 表示 \(X\) 和 \(Y\) 是同类。
  • 2 X Y 表示 \(X\) 吃 \(Y\)。

此人对 \(N\) 个动物一句接一句地说了 \(K\) 句话,其中有真话也有假话。

当一句话满足下列三个条件之一时,这句话就是假话,否则就是真话:

  • 当前的话与前面的某些真话冲突,就是假话;
  • 当前的话中 \(X>N\) 或 \(Y>N\),就是假话;
  • 当前的话表示 \(X\) 吃 \(X\),就是假话。

根据给定的 \(N\) 和 \(K\) 句话,输出假话的总数。\(1\le N\le 5\cdot 10^4.1\le K\le 10^5\)。

思路

我们可以使用“带边权并查集”,令 \(d_i\) 表示 \(i\) 号节点到父节点的距离。

那么我们可以根据 \(d_i\) 除以 \(3\) 的余数将动物分为 \(3\) 类:

  1. \(d_i \equiv 0\pmod 3\)
  2. \(d_i\equiv 1\pmod 3\)
  3. \(d_i\equiv 2\pmod 3\)

对于 1 X Y(\(X,Y\) 为同类),可以看出,若 \(x\) 号节点和 \(y\) 号节点在同一棵树上,且 \(d_x-d_y\equiv 0\pmod 3\),说明 \(x,y\) 为同一种动物,即这句话是真话;若 \(x\) 号节点和 \(y\) 号节点不在同一棵树上,说明这两种动物之前还没有产生联系,则这句话为真话,设 \(px=find(x),py=find(y)\),可以令 \(p_{px}=py,d_{px}=d_y-d_x\)。

对于 2 X Y(\(X\) 吃 \(Y\)),可以看出,若 \(x\) 号节点和 \(y\) 号节点在同一棵树上,且 \(d_x-d_y+1\equiv 0\pmod 3\),说明 \(x\) 吃 \(y\),即这句话是真话;若 \(x\) 号节点和 \(y\) 号节点不在同一棵树上,说明这两种动物之前还没有产生联系,则这句话为真话,设 \(px=find(x),py=find(y)\),可以令 \(p_{px}=py,d_{px}=d_y-d_x-1\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 50010;

int n, k, cnt;
int p[N], d[N]; //带边权并查集

int find(int x) {
    if (p[x] != x) {
        int tmp = find(p[x]); //递归更新p[x]到根节点的距离(路径压缩后,p[x]的父亲节点即为其祖宗节点)
        d[x] += d[p[x]]; //x到根节点(路径压缩后的根节点)的距离=x到p[x]的距离(即d[x])+p[x]到其父节点(即根节点)的距离
        p[x] = tmp; //路径压缩
    }
    return p[x];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i; //初始时,每个点的父亲是自己,到自己的距离为0
    
    int op, x, y;
    while (k -- ) {
        scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
        if (x > n || y > n) {cnt ++; continue;} //x>n,y>n是假话
        
        int px = find(x), py = find(y);
        if (op == 1) {
            if (px == py) { //在同一棵树上
                //(d[x]-d[y]) % 3 = 0说明是真话,否则是假话
                if ((d[x]-d[y]) % 3)
                    cnt ++;
            } else { //不在同一棵树上,说明x,y之前没有联系,视作真话
                d[px] = d[y] - d[x];
                p[px] = py;
            }
        } else {
            if (px == py) {
                if ((d[x]-d[y]+1) % 3)
                    cnt ++;
            } else {
                d[px] = d[y] - d[x] - 1;
                p[px] = py;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    return 0;
}

例题AcWing 1250. 格子游戏

题目:Alice 和 Bob 在玩一个格子游戏:在一个 \(n\times n\) 的点阵中,他们轮流在相邻的点之间划上红边和蓝边,直到围成一个封闭的圈为止。在游戏中,他们进行了 \(m\) 步,你需要计算在第几步中游戏已经结束。如果 \(m\) 步后游戏还没有结束,输出 draw。保证输入的边没有重边,且一定正确。\(1\le n\le 400,1\le m\le 24000\)。

思路

考虑边是否围成一个环不好做,我们将其转换为点。每次连接两个点相当于将这两个点所在的集合合并,若这两个点已经在一个集合中,说明游戏已经结束。对于点 \((x,y)\),为了方便计算,我们可以将其转化为一维标号 \((x-1)n+y\)。

时间复杂度 \(O(n^2+m\log n^2)\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 40010;

int n, m;
int p[N];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void merge(int u, int v) {
    p[find(u)] = find(v);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n*n; ++i) p[i] = i;

    int x, y; char c;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> x >> y >> c;
        int t = (x-1) * n + y;
        if (c == 'D') {
            if (find(t) == find(t+n)) printf("%d\n", i), exit(0);
            else merge(t, t+n);
        }
        else {
            if (find(t) == find(t+1)) printf("%d\n", i), exit(0);
            else merge(t, t+1);
        }
    }
    puts("draw");
    return 0;
}

例题AcWing 1252. 搭配购买

题目:商店里有 \(n\) 朵云,Joe 有 \(w\) 元钱。有 \(m\) 对云 \(i,j\) 需要搭配购买,即若购买第 \(i\) 朵云就必须购买第 \(j\) 朵云,若购买第 \(j\) 朵云就必须购买第 \(i\) 朵云。第 \(i\) 朵云的价格为 \(c_i\),价值为 \(d_i\),求出 Joe 能得到的最大价值。\(1\le n,w\le 10^4,1\le m\le 5000\)。

思路:并查集 + 01 背包。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;

const int N = 10010;

int n, m, w;
int c[N], d[N], p[N];
vector<pii> goods(N);
int f[N];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void merge(int u, int v) {
    p[find(u)] = find(v);
}

bool cmp(pii a, pii b) {
    return a > b;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &w);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &c[i], &d[i]);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
    while (m -- ) {
        int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
        merge(u, v);
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        goods[find(i)].first += c[i], goods[find(i)].second += d[i];

    sort(goods.begin(), goods.end(), cmp);
    while (!goods.back().first) goods.pop_back();

    for (auto good : goods) {
        int c = good.first, d = good.second;
        for (int j = w; j >= c; --j) f[j] = max(f[j], f[j-c]+d);
    }
    printf("%d\n", f[w]);
    return 0;
}

例题AcWing 237. 程序自动分析

题目:假设 \(x_1,x_2,x_3,\cdots\) 为程序中出现的变量,给定 \(n\) 个形如 \(x_i=x_j\) 或 \(x_i\ne x_j\) 的变量约束条件,判断是否可以为每个变量赋予一个恰当的值,使得所有约束条件同时被满足。多测,\(1\le n\le 10^6,1\le i,j\le 10^9\)。

思路

首先观察到 \(i,j\) 值域很大,而 \(n\) 相对较小,所以离线存储所有的操作,将出现的下标离散化。用并查集将所有满足 \(x_i=x_j\) 的点 \(i,j\) 合并。此时对于条件 \(x_i\ne x_j\),若 \(i,j\) 已经在一个集合中,则该约束条件不可能被满足。

时间复杂度 \(O(tn\log n)\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 2e6+10;

int t, n;
int p[N], a[N], b[N];
bool e[N];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void merge(int u, int v) {
    p[find(u)] = find(v);
}

int main() {
    scanf("%d", &t);
    while (t -- ) {
        scanf("%d", &n);
        vector<int> nums;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d%d%d", &a[i], &b[i], &e[i]);
            nums.push_back(a[i]), nums.push_back(b[i]);
        }
        sort(nums.begin(), nums.end()), nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end()); // 离散化

        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) p[i] = i;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (!e[i]) continue;
            int posa = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), a[i]) - nums.begin(), posb = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), b[i]) - nums.begin();
            merge(posa, posb); // 将满足xi=xj的点i,j合并
        }

        bool ans = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (e[i]) continue;
            int posa = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), a[i]) - nums.begin(), posb = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), b[i]) - nums.begin();
            if (find(posa) == find(posb)) {ans = 0; break;}
        }
        puts((ans)?"YES":"NO");
    }

    return 0;
}

例题AcWing 239. 奇偶游戏

题目:小 A 写了一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 序列 \(S\),小 B 向他提出了 \(m\) 个问题,每个问题中小 B 给定两个整数 \(l,r\;(l\le r)\),小 A 需要回答 \(S_l\sim S_r\) 中 \(1\) 的个数是奇数还是偶数。求出一个最小的整数 \(k\),使得存在一个序列 \(S\) 满足第 \(1\sim k\) 次回答,而不满足 \(1\sim k+1\) 次回答。如果 \(1\sim m\) 次回答都能够被满足,输出 \(m\)。\(1\le n\le 10^9,1\le m\le 5000\)。

思路

利用前缀和的思想,\(S_l\sim S_r\) 中 \(1\) 的个数 \(=\) \(S_1\sim S_r\) 中 \(1\) 的个数 \(-\) \(S_1\sim S_{l-1}\) 中 \(1\) 的个数。定义 \(sum_i\) 表示 \(S_1\sim S_i\) 中 \(1\) 的数量。那么当 \(S_l\sim S_r\) 中 \(1\) 的个数为偶数时,\(sum_{l-1}\) 和 \(sum_r\) 同奇偶;当 \(S_l\sim S_r\) 中 \(1\) 的个数为奇数时,\(sum_{l-1}\) 和 \(sum_r\) 异奇偶。我们可以使用扩展域并查集,将一个点 \(x\) 拆成点 \(x_{odd}\) 和 \(x_{even}\)。若 \(sum_x,sum_y\) 同奇偶,则将 \(x_{odd},y_{odd}\) 合并,\(x_{even},y_{even}\) 合并;若 \(sum_x,sum_y\) 异奇偶,则将 \(x_{odd},y_{even}\) 合并,\(x_{even},y_{odd}\) 合并。对于每一次询问,判断其是否和之前的询问矛盾即可。

注意到 \(n\) 很大而 \(m\) 很小,使用离散化。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 20010;

int n, m;
int p[N], L[N], R[N];
string type[N];
vector<int> nums;

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void merge(int u, int v) {
    p[find(u)] = find(v);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> L[i] >> R[i] >> type[i];
        L[i] --; nums.push_back(L[i]), nums.push_back(R[i]);
    }

    sort(nums.begin(), nums.end());
    nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());

    n = nums.size();
    for (int i = 0; i < 2*n; ++i) p[i] = i;

    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int l = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), L[i]) - nums.begin(), r = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), R[i]) - nums.begin();
        if (type[i] == "odd") {
            if (find(l) == find(r)) {cout << i-1 << '\n'; exit(0);}
            else merge(l, r+n), merge(l+n, r);
        } else {
            if (find(l) == find(r+n)) {cout << i-1 << '\n'; exit(0);}
            else merge(l, r), merge(l+n, r+n);
        }
    }
    cout << m << '\n';
    return 0;
}

例题AcWing 238. 银河英雄传说

题目:有一个划分为 \(n\) 列的星际战场,各列一次编号为 \(1\sim n\)。有 \(n\) 艘战舰,也依次编号为 \(1\sim n\),第 \(i\) 号战舰初始时位于第 \(i\) 列。有 \(T\) 条指令,每条指令格式为以下两种之一:

  • M i j 表示让第 \(i\) 号战舰所在列的全部战舰保持原有顺序,接到第 \(j\) 号战舰所在列的尾部。
  • C i j 表示询问第 \(i\) 号战舰和第 \(j\) 号战舰是否在同一列中。如果在同一列中,它们之间隔了多少艘战舰;否则输出 -1

\(1\le n\le 30000,1\le T\le 5\times 10^5\)。

思路
我们除了维护并查集的 \(p\) 数组,我们还需要维护每一艘战舰所在的集合大小 \(s_i\) 和每一艘战舰到根节点(即每一列的第一艘战舰)的距离 \(d_i\)。初始时,\(p_i=i,s_i=1,d_i=0\)。对于 find 操作,由于我们进行了路径压缩,所以要先路径压缩 \(p_x\),再更新 \(d_x\leftarrow d_x+d_{p_x}\),最后路径压缩 \(x\)。对于 merge 操作,若 \(i,j\) 已经在一个集合中,则直接返回;否则,令 \(fi\) 表示 \(i\) 的根节点,\(fj\) 表示 \(j\) 的根节点,更新时 \(p_{fi}\leftarrow fj,d_{fi}\leftarrow s_{fj},s_{fj}\leftarrow s_{fi}+s_{fj}\)。

对于每一次询问,若 \(i,j\) 不在一个集合中输出 -1,若 \(i=j\) 输出 \(0\),否则输出 \(|d_i-d_j|-1\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 3e4+10;

int t;
int p[N], d[N], s[N];

int find(int x) {
    if (p[x] == x) return x;
    int fx = find(p[x]);
    d[x] += d[p[x]], p[x] = fx;
    return p[x];
}

void merge(int u, int v) {
    int fu = find(u), fv = find(v);
    if (fu == fv) return ;
    p[fu] = fv, d[fu] = s[fv], s[fv] += s[fu];
}

int solve(int u, int v) {
    int fu = find(u), fv = find(v);
    if (fu != fv) return -1;
    if (u == v) return 0;
    return abs(d[u]-d[v])-1;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    cin >> t;
    for (int i = 1; i <= 30000; ++i) p[i] = i, d[i] = 0, s[i] = 1;
    
    while (t -- ) {
        char op; int x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if (op == 'M') merge(x, y);
        else cout << solve(x, y) << endl;
    }
    return 0;
}

7 堆

例题AcWing 838. 堆排序

题目

给你一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\),输出前 \(m\) 小的数。\(1\le m\le n\le 10^5,1\le a_i\le 10^9\)。

思路

堆可以看作是一个完全二叉树,所以我们可以用存储二叉树的方式来存储它,若下标为 \(n\) 的点为一个父亲节点,则其左儿子的下标为 \(2n\),右儿子的下标为 \(2n+1\)。在本题中我们使用的是小根堆,对于每一个父亲节点 \(u\),它存储的值小于等于它的左儿子或右儿子,即\(a_u\le\min(a_{2u},a_{2u+1})\)。

下图(\(\texttt{2-11}\))展示了一个小根堆:

图2-11

堆有两个个关键的操作——down 操作和 up 操作,时间复杂度均为 \(O(\log n)\)。 对于一个左右子树均为堆的非叶子节点 \(u\) ,down(u) 意味着将 \(u\) 下传至堆中合适的位置,使其满足堆的性质。对于一个节点 \(u\),up(u) 意味着将 \(u\) 上传至堆中合适的位置,使其满足堆的性质。在本题中我们只需要用到 down 操作。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n, m;
int a[N], s;

void down(int u) { //时间复杂度O(log n)
    int t = u;
    //u*2和u*2+1分别是u的左儿子和右儿子
    if (u*2 <= s && a[u*2] < a[t])
        t = u*2;
    if (u*2+1 <= s && a[u*2+1] < a[t]) 
        t = u*2+1; //若a[u]>min(a[2u],a[2u+1]),则在左儿子和右儿子中取较小值与a[u]交换
    if (t != u) {
        swap(a[t], a[u]);
        down(t);
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    s = n;
    
    for (int i = n/2; i > 0; --i) down(i);
    //从n/2开始倒序建堆,是因为n/2+1,...,n均为叶子结点,不需要down操作
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        printf("%d ", a[1]);
        a[1] = a[s], s --; //每次取出堆头后将堆头删去,用最后一个元素替代它
        down(1); //下传堆头元素
    }
    return 0;
}

模板AcWing 839. 模拟堆

题目

维护一个集合,初始时集合为空,支持如下几种操作:

  1. I x,插入一个数 \(x\);
  2. PM,输出当前集合中的最小值;
  3. DM,删除当前集合中的最小值(数据保证此时的最小值唯一);
  4. D k,删除第 \(k\) 个插入的数;
  5. C k x,修改第 \(k\) 个插入的数,将其变为 \(x\);

现在要进行 \(N\) 次操作,对于所有 PM 操作,输出当前集合的最小值。\(1\le N\le 10^5,-10^9\le x\le 10^9\)。

思路

本题中的 \(5\) 个操作均可以用堆的 downup 操作来实现。下面为 up 操作的实现方式:

void up(int u) {
    while (u / 2 > 0 && h[u] < h[u/2]) {
        //如果u存在父节点且u节点上的值比其父节点上的值要小.则交换这两个点
        swap(u, u/2); 
        u /= 2;
    }
}

本题的难点在于如何实现后两个操作。我们可以仿照链表的存储方式,用变量 \(m\) 来存储当前插入节点的编号。另外我们维护两个数组 \(ph\) 和 \(hp\),\(ph_i\) 表示堆中 \(i\) 号节点所对应的插入编号,\(hp_i\) 表示插入编号 \(i\) 在堆中所对应的节点序号。与上一道例题一样,我们还需要一个变量 \(s\) 来存储堆的大小,一个数组 \(h\) 来存储堆中的元素。

由于增加了数组 \(ph\) 和 \(hp\),堆中元素的交换变的更加复杂。所以我们可以写一个函数 heap_swap 来处理堆中两个编号为 \(a,b\) 的元素的交换。

void heap_swap(int a, int b) { //将堆中编号为a,b的两个点互换
    swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]); //交换节点编号
    swap(hp[a], hp[b]); //交换插入编号
    swap(h[a], h[b]);
}

down 操作和 up 操作中的 swap 也需要替换成 heap_swap.

void down(int u) {
    int t = u;
    if (u*2 <= s && h[u*2] < h[t]) t = u*2;
    if (u*2+1 <= s && h[u*2+1] < h[t]) t = u*2+1;
    if (t != u) {
        heap_swap(t, u);
        down(t);
    }
} 

void up(int u) {
    while (u / 2 > 0 && h[u] < h[u/2]) {
        heap_swap(u, u/2);
        u /= 2;
    }
}

有了这三个核心操作,我们就可以完成题目所给的要求了。

  • I x:插入一个数 \(x\)。 堆的大小 \(s\) 和插入序号 \(m\) 都需要增加 \(1\);此时 \(ph_s=m,hp_m=s,h_s=x\)。 然后再将 \(s\) 号节点 up 操作即可。

  • PM:输出堆中的最小元素。由小根堆的性质,直接输出 \(h_1\) 即可。

  • DM:删除堆中的最小元素。将 \(1\) 号节点和 \(s\) 号节点交换,\(s\) 再减去 \(1\)(删除一个元素,大小减少 \(1\)), 再将 \(1\) 号节点 down 操作即可。

  • D k:删除插入序号为 \(k\) 的节点。插入序号为 \(k\) 的节点在堆中的序号为 \(ph_k\),仿照 DM 操作,将 \(s\) 号节点和 \(ph_k\) 号节点交换,\(s\) 减去 \(1\),再将 \(ph_k\) 号节点分别 downup 操作一次即可。

  • C k x:将插入序号为 \(k\) 的节点的值更改为 \(x\)。 仿照 D k 操作,将 \(h_{ph_k}\) 设为 \(x\),再将 ph_k 号节点分别 downup 操作一次即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n, m, s;
int h[N], ph[N], hp[N];

void heap_swap(int a, int b) { 
    swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]); 
    swap(hp[a], hp[b]); 
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u) {
    int t = u;
    if (u*2 <= s && h[u*2] < h[t]) t = u*2;
    if (u*2+1 <= s && h[u*2+1] < h[t]) t = u*2+1;
    if (t != u) {
        heap_swap(t, u);
        down(t);
    }
} 

void up(int u) {
    while (u / 2 > 0 && h[u] < h[u/2]) {
        heap_swap(u, u/2);
        u /= 2;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> n;
    while (n -- ) {
        string op; 
        cin >> op;
        if (op == "I") {
            int x; cin >> x;
            s ++, m ++;
            ph[m] = s, hp[s] = m;
            h[s] = x; up(s);
        } else if (op == "PM") {
            cout << h[1] << endl;
        } else if (op == "DM") {
            heap_swap(1, s);
            s --;
            down(1);
        } else if (op == "D") {
            int k; cin >> k;
            k = ph[k];
            heap_swap(k, s);
            s --;
            down(k), up(k);
        } else {
            int k, x; cin >> k >> x;
            k = ph[k];
            h[k] = x;
            down(k), up(k);
        }
    }
    return 0;
}

8 哈希表

8.1 普通哈希

模板Acwing 840. 模拟散列表

题目

维护一个集合,支持以下两种操作:

  1. I x 插入一个数 \(x\);
  2. Q x 询问 \(x\) 是否在集合中出现过。

给定 \(n\) 次操作,对于每次 Q x 操作输出对应结果 YesNo.

\(1\le N\le 10^5,-10^9\le x\le 10^9\)。

思路

哈希有两种实现方式:拉链法和开放寻址法。其本质都是通过一个哈希函数 \(f(x)\) 来实现将较大范围的数(或负数)映射到一个较小的区间 \([0,k)\) 内,以实现快速查找。但由于不同的数可能映射到一个相同的值,所以我们需要一些方法来进行处理。

拉链法:对于区间 \([0,k)\) 中的每一个数,开一个链表存储其映射到的数(即邻接表),每次遍历查找即可。

开放寻址法:若当前 \(f(x)\) 的位置上已经存了一个数,则向后(若到了尾部则跳到 \(0\))不断查找第一个没有存数的点并将其插入。

代码

拉链法:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;
const int p = 100003;

int n;

int h[N], e[N], ne[N], idx;

int f(int x) {
    return (long long)x * x % p;
}

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void insert(int x) {
    int x_ = f(x);
    add(x_, x);
}

bool check(int x) {
    int x_ = f(x);
    for (int i = h[x_]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (j == x) return 1;
    }
    return 0;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);
    char op; int x;
    while (n -- ) {
        cin >> op >> x;
        if (op == 'I') insert(x);
        else {
            if (check(x)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }
    
    return 0;
}

开放寻址法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;
const int p = 999987;

int n;

int h[N];

int f(int x) {
    return (x % p + p) % p;
}

int find(int x) {
    int x_ = f(x);
    while (h[x_] != 0x3f3f3f3f && h[x_] != x) {
        x_ ++;
        if (x_ > p) x_ = 0;
    }
    return x_;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    cin >> n;
    memset(h, 0x3f, sizeof h);
    char op; int x;
    while (n -- ) {
        cin >> op >> x;
        if (op == 'I') h[find(x)] = x;
        else {
            if (h[find(x)] != 0x3f3f3f3f) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }
    
    return 0;
}

8.2 字符串哈希

模板Acwing841. 字符串哈希

题目:给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\) 和 \(m\) 次询问,每次询问给定两个区间 \([l_1, r_1],[l_2,r_2]\),判断这两个区间所包含的子串是否完全相同。

\(s\) 中只包含大小写字母及数字,且位置从 \(1\) 开始编号,\(1\le n,m\le 10^5\)。

思路

对于字符串,我们有一种常用的哈希方式。将该字符串视作一个 \(p\) 进制数,将其转换为十进制后对 \(q\) 取模。通常取 \(p=131\) 或 \(13331\),\(q=2^{64}\)(可直接通过 unsigned long long 的溢出取模)。

我们可以先计算 \(s\) 中所有前缀字符串的的哈希值。定义 \(h_i\) 表示 \(s\) 中 \([1,s]\) 之间字符的哈希值。显然 \(h_0=0\),那么 \(h_i=h_{i-1}\times p+s_i\)。

接下来,我们可以通过 \(h\) 求出每个子串的哈希值。对于区间 \([l,r]\),其包含的子串的哈希值为 \(h_r-h_{l-1}\times p^{r-l+1}\),其中 \(p\) 的幂次可以预处理。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef unsigned long long ull;

const int N = 1e5+10;
const int P = 13331;

int n, m;
char s[N];
ull h[N], p[N];

ull get_hash(int l, int r) {
    return (h[r] - h[l-1] * p[r-l+1]);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    cin >> n >> m >> s+1;
    h[0] = 0, p[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        h[i] = h[i-1] * P + (s[i] - 'A' + 1);
        p[i] = p[i-1] * P;
    }
    
    int l1, r1, l2, r2;
    while (m -- ) {
        cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
        ull h1 = get_hash(l1, r1), h2 = get_hash(l2, r2);
        if (h1 == h2) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    
    return 0;
}

标签:10,数据结构,int,find,le,include,节点
From: https://www.cnblogs.com/Jasper08/p/17455681.html

相关文章

  • 数据结构与算法-技巧类型题总结
    目录排序逆序排序逆序查询后矩阵的和......
  • 初级数据结构--栈、队列
    栈后端(进栈)插入,后端(出栈)删除顺序存储,用静态数组实现,需要记录栈顶指针,栈的增删操作只能操作栈顶的护数据。两种初始化方式top=-1top=0共享栈两个栈共用一片内存空间,两个栈从两边向中间增长初始化1个栈顶指针初始为-1;另一个栈顶指针初始为Maxsize栈满条件 top0+1==top1队列后端(......
  • 数据结构与算法分析课程设计
    1.设计目的数据结构课程设计是学习了数据结构课程后的一个综合性实践教学环节,是对课程理论和课程实验的综合和补充。它主要培养学生综合运用已学过的理论和技能去分析和解决实际问题的能力,对加深课程理论的理解和应用、切实加强学生的实践动手能力和创新能力具有重要意义。2.设计要......
  • 初级数据结构--双链表、循环链表
    双链表结构体内含有两个指针域。相比单链表,双链表每个节点多了一个存储前一节点的指针。对节点的增加、删除操作比单链表便捷,不用独立指针记录前一节点voidInitDNodeList(DNode**D){ *D=(DNode*)malloc(sizeof(DNode)); if(!*D) return; (*D)->front=NULL; (*D)->nex......
  • lucene底层数据结构——FST,针对field使用列存储,delta encode压缩doc ids数组,LZ4压缩算
    参考:http://www.slideshare.net/lucenerevolution/what-is-inaluceneagrandfinalhttp://www.slideshare.net/jpountz/how-does-lucene-store-your-data摘录一些重要的:看一下Lucene的倒排索引是怎么构成的。我们来看一个实际的例子,假设有如下的数据: docid年龄性别118女220女318男 ......
  • lucene底层数据结构——底层filter bitset原理,时间序列数据压缩将同一时间数据压缩为
    如何联合索引查询?所以给定查询过滤条件age=18的过程就是先从termindex找到18在termdictionary的大概位置,然后再从termdictionary里精确地找到18这个term,然后得到一个postinglist或者一个指向postinglist位置的指针。然后再查询gender=女的过程也是类似的。最后得出age=18......
  • 初级数据结构--单链表3
    表头插入//批量头插voidListHead_Insert(LNode*L){ intvalue=0; LNode*p=L; while(1) { scanf("%d",&value); if(9999==value) break; LNode*newLNode=(LNode*)malloc(sizeof(LNode)); newLNode->data=value; newLNode->nex......
  • 2023-06-01:讲一讲Redis常见数据结构以及使用场景。
    2023-06-01:讲一讲Redis常见数据结构以及使用场景。答案2023-06-01:字符串(String)适合场景缓存功能Redis作为缓存层,MySQL作为存储层,在大部分请求中,数据的读取通常是从Redis中获取。由于Redis具有支持高并发的特性,因此缓存层通常能够加速读写操作,并减轻后端服务的压力。采用Redi......
  • 2023-06-01:讲一讲Redis常见数据结构以及使用场景。
    2023-06-01:讲一讲Redis常见数据结构以及使用场景。答案2023-06-01:字符串(String)适合场景缓存功能Redis作为缓存层,MySQL作为存储层,在大部分请求中,数据的读取通常是从Redis中获取。由于Redis具有支持高并发的特性,因此缓存层通常能够加速读写操作,并减轻后端服务的压力。采......
  • Python字典:强大的键值对数据结构
    在Python中,字典是一种多功能和强大的数据结构,它允许我们以键值对的形式存储和操作数据。字典在其他编程语言中也被称为关联数组或哈希映射,它提供了一种高效的方式来根据键检索和更新值。在本文中,我们将探讨Python中的字典概念,并了解如何有效地使用它们。Python中的字典是无序的键......