01背包问题

问题描述：

给定n种物品和一背包的容量m，物品i的重量是c[i]，其价值是w[i]，问如何选择装入背包中的物品总价值最大？每种物品一

件，可以选择放或不放。

分析：dp[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

恰好装满背包与不要求恰好装满背包的区别。这两种区别就是初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了dp[1]为0外其它dp[2..V]均设为-INF，这样就可以保证最终得

到的dp[V]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将dp[1..V]全部设为0。

可以这样理解：初始化的dp数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只

有容量为0的背包可能被重量为0的nothing恰好装满，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应

该是-INF了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个值为0，所以初始时状态的

值也就全部为0了。

int Work(int c[],int w[],int n,int m)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int v=1;v<=m;v++)
        {
            if(v >= c[i]) dp[i][v] = max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-c[i]] + w[i]);
            else dp[i][v] = dp[i-1][v];
        }
    }
    return dp[n][m];
}

空间的优化，要对V逆着推，这样才能保证推dp[v]时dp[v-c[i]]保存的是状态dp[i-1][v-c[i]]的值。

int Work(int c[],int w[],int n,int m)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int v=m; v >= c[i]; v--)
            dp[v] = max(dp[v],dp[v-c[i]] + w[i]);
    return dp[m];
}