论文宗旨：

由于PER 是以TD-error成正比的非均匀概率进行抽样的，但是在AC算法中即连续动作空间中，会表现出低效果。
分析结果是：Actor不能有效的从high TD-error的transition中学习，Q网络下近似的policy gradient会偏离最优Q下的真实梯度。
提出修正方法：

• Actor从low TD-error的transition中学习；但是发现在q网络更新中与MSE损失相结合时，PER并不能完全消除偏差，采用huber loss
• 对于low TD-error的采样；方法：其概率与TD误差成反比，适用于创建一个包含优先级全局逆的new tree，并且q网络更新也使用LAP优先级方法，and Huber loss不能应用于策略梯度的计算
• 用完全不同的transition优化演员和评论家网络可能违反AC理论：使用相同的transitions set（作为采样mini-batch的一部分）进行优化，并且对共享transitions set进行均匀采样，q网络更新也使用LAP优先级方法的镜像loss函数--PAL

1 Introduction

PER非均匀采样，分析了PER在AC中为何不能有效：

对于critic：TD-error可以代表Q学习的loss和对未来回报的不确定性。
但是对于actor：actor不能有效训练，因为这些经验是critic未知未来回报的（就好比：一个经验很少的老师期待可以学习的很好）

本文会证明actor使用high TD-error训练的策略梯度会出现偏差

本文Discoveries：

• 依赖与critic的策略梯度不能使用使得critic有高不确定性的transitions
• critic和actor选择不用的transition违反AC算法。因为critic参数更新依赖actor
• 损失函数要与优先级抽样一起考虑：因为在采样的时候离群偏差的transition可能会被泄露

2 Related Work

PER的改进算法：

Rainbow, distributed PER, distributional policy gradients、
prioritizing the sequences of transitions 、 optimization of the prioritization scheme、
determining which transitions to favor or forget、 the composition and size of the experience replay buffers

基于学习的采样策略：

train a multi-layer perceptron whose input is the concatenation of reward, time step, and TD
error.

与这些可学习的采样策略相反，本文以基于规则的方式引入了对优先体验重播的修正

最近的研究：PER、LAP和MaPER。
本文实验比较：我们的方法（LA3P）与均匀抽样、PER、LAP和MaPER进行了比较。

3 Technical Preliminaries

3.1 Deep Reinforcement Learning

在动作值函数(q函数或批评家)Qπ下评估策略的性能:

根据贝尔曼方程确定动作值函数：

TD-learning算法是一种基于Bellman方程的更新规则：

TD error：

3.2 Prioritized Experience Replay

PER两点改变：

• 采用随机优先级方案:
  这样做的动机是，只有在重放transition时才更新TD error。最初的high TD error的transition会更频繁地更新，从而导致贪婪优先级。由于贪婪采样，噪声q值估计增加了方差;如果直接对与TD误差成比例的transition进行采样，过拟合是不可避免的:

  修正：给每个transition赋一个概率值，与其TD-error成正比，并设置为超参数α的幂次以平滑极值:
  

• 偏好随机优先级的high TD error的transition会使下一个状态对于Q值的分布偏移

  修正:重要性采样
  

4 Prioritized Sampling in Actor-Critic Algorithms

用标准的非策略连续控制方法解释了PER的不良性能

Lemma 1

引理1:
如果δ是与评价网络Q相关的TD error，则存在一个δo(τt)≠0的过渡元组τt = (St, at, rt, St+1)，使得τt上的绝对TD error与至少τt或τt+1上的绝对估计误差成正比

证明：
TD error的自举值估计公式：
在策略Π下的最优动作价值函数没有TD error：
两个式子相减：

x是时间步t的估计误差;y是后续时间步t + 1的估计误差
如果x = 0，则y≠0，反之亦然，因为γ≥0
因此，如果q网络对应的TD误差非零，则在τt或τt+1上存在Qθ的估计误差

假设δθ(τt)<0, x≥0,y <0。在这种情况下，如果x保持不变，则TD误差的增加会增加y的绝对估计误差。
推断在时间步长t的绝对时间差误差|δθ(τt)|与τt或τt+1的绝对估计误差之间可能存在正比关系。

RL函数估计误差通常是由使用函数逼近器和自举引起的；由于估计误差通常不能区分为函数逼近和bootstrapping，因此不能推导出估计误差和TD误差之间总存在正比关系。此外，在某些条件下，TD-learning可能是一个糟糕的估计，例如当奖励有噪声时。TD误差衡量的是过渡的意外程度，而不是估计精度。因此，引理1必须证明这种相关性对于某些状态-动作对是存在的

Theorem 1

利用上述结果来解释为什么使用具有较大TD误差的转换不能有效地执行策略优化

定理1：
设τi是一个满足引理1的transition。那么，如果δθ(τi) ≠ 0，则δθ(τi)正比于估计梯度的误差

证明：
用策略参数φ的函数近似形式化地表示标准策略迭代：

用函数逼近法给出了策略迭代中策略梯度的一般公式：

我们可以忽略dπ(si)由于策略参数φ对d没有影响：

如果策略是随机的，则上式转化为:

梯度正比于Q的估计值

用真q值和估计误差来表示策略梯度：

真实Q与真实梯度的关系：

上述两个式子可见：随着Q估计值偏移真实Q值，增长的估计误差会增加了与实际政策梯度的差异：

根据Lemma 1：

我们推断，当前步t中增加的绝对TD error会增加当前t或后续步t+1中与实际策略梯度的差异：

Corollary 1.

定理1：如果actor网络使用与large TD error相对应的transition进行优化，则当前或后续步的策略梯度可能与实际梯度偏离

推论1:
如果transition的 TD error增加，则关于Q-network的任何策略梯度算法计算的近似策略梯度都可能偏离当前或后续transition在最优q函数下计算的实际梯度。

当采用actor网络时，这是优先采样性能下降的一个重要因素

Remark 1

最近的一项发现：解释了连续控制中优先抽样的较差性能的补充

通过随机采样的具有较大TD误差的转换进行优先级排序，将s0的分布移动到Es 0 [Q(s 0, a0)]。因此，这种诱导的偏差可通过重要性采样进行修正;
在发现中：在q网络更新中，当与MSE损失相结合时，PER并不能完全消除偏差，可能会偏向离群点

修正：L1 loss可以满足这样的性质
在实践中，L1损失可能不是理想的，因为每次更新都需要一个恒定大小的步长，如果学习率太大，可能会导致目标overstepped
修正结果：采用常用的Huber损耗，κ = 1:

误差小于1的样本应均匀采样，以防止由MSE和优先级引起的偏差;LAP算法将低优先级的样本限定为至少一个样本来实现这一目标。
LAP算法将式(25)中表示的Huber损失与以下改进的随机优先级方案相结合，克服了Remark 1中提到的问题:

Remark 2

为了进一步消除优先体验重放算法中有利于离群值转换的偏差，应将κ = 1的Huber损失与上述优先级方案结合使用

Fujimoto等人提出的结果对我们在remark 2中强调的PER性能较差的理论结论进行了补充。
我们的重点是连续控制算法，相比之下，Remark 2包括离散和连续的非策略深度强化学习。
Corollary 1和Remark 2为连续控制中PER算法的缺陷奠定了基础

5 Adaptation of Prioritized Experience Replay to Actor-Critic Algorithms

5.1 Inverse Sampling for the Actor Network

Observation 1

如果没有使用sampled transitions之后的transitions来优化参与者网络，那么在PER算法下，AC方法的性能可能不会下降。然而，在连续控制的标准脱策略算法中，这种可能性仍然很小。【因为replay buffer在初始优化步骤中包含很少的转换，其数量小于批量大小】

推论1中的需求可以通过从优先重放缓冲区中进行反向采样来实现，即通过PER方法对执行器网络的低TD误差转换进行采样

一种本能的对转换进行采样的方法，其概率与TD误差成反比，适用于创建一个包含优先级全局逆的new tree。

尽管通过之前定义的和树数据结构，vanilla中的优先级在每个训练步骤中都会更新，但对actor更新的反向采样需要在训练之前创建一个新的和树。在每个更新步骤中，优先级的计算如下:

Remark 2所述，使用MSE和PER仍然会导致不同的偏差，这些偏差可能有利于异常值转移。因此，我们采用LAP的优先级方案:

在每个优化步骤t, Q-network和优先级分别更新为

Huber损失不能应用于策略梯度的计算

首先，根据q网络的损失即TD误差确定优先级，而MSE损失结合基于TD误差的优先采样是上述离群点偏差的主要原因;
此外，通过一类不可替代的策略梯度技术来计算策略损失和梯度。
因此，离群点偏差不会影响策略梯度，策略网络不需要使用Huber损失

5.2 Optimizing the Actor and Critic with a Shared Set of Transitions

用完全不同的transition优化演员和评论家网络可能违反AC理论

如果critic更新被一组位于actor从未优化过的状态-动作空间中的特征，可能存在很大的不稳定性：critic使用的transition是通过actor处理的，actor从未看到这些转换；因此critic的行为评价的可靠性可能会受到质疑

TD和估计误差之间并不总是直接相关的。

因此，一些过渡最初可能具有较低的TD误差。如果actor在整个学习过程中针对这些低TD误差转换进行优化，并且Q-network只关注剩余的大TD误差转换，则actor和critic训练中使用的样本可能不相同。尽管这仍然有一点可能性

但我们通过一组共享transition来更新actor和critic网络，作为采样mini-batch的一部分，从而克服了这一问题

Observation 2

如果分别通过逆优先级和优先级采样对actor和critic的转换进行采样，它们可能永远不会观察到相同的转换，这违反了actor-critic理论，并导致学习中的不稳定。因此，actor和critic应该使用相同的transitions set进行优化，至少在每个更新步骤中为采样的小批量transitions的一部分进行优化

如何选择 the set of shared transitions

均匀采样转换:
Transitions with large TD error和Transitions with small TD error两种选择意味着对共享转换集进行均匀采样仍然是唯一的选择。

虽然均匀采样的小批量中可能包含较大的TD误差转移，但由于在小批量学习中进行平均，它们的影响被降低了。

如Remark 2所述，Huber损失(κ = 1)与优先采样相结合可以消除LAP算法中的离群点偏差。Fujimoto等人[2020]还介绍了LAP的镜像损失函数，具有等效的期望梯度，用于从经验回放缓冲区中均匀采样。

为了在均匀采样中观察LAP的相同好处，应该使用它的镜像损失函数，优先近似损失(PAL)而不是MSE。与LAP函数的情况类似，在策略网络的更新中也不使用PAL损失。PAL函数表示为:

为了消除均匀采样对应物中的离群值偏差，应该使用优先化近似损失(priority Approximate Loss, PAL)函数，该函数与PER结合后的Huber损失具有相同的期望梯度

LA3P

PER correction算法，即损失调整的近似Actor优先体验重放(LA3P)

总结一下方法:

• 在每个更新步骤中，均匀采样大小为λ·N的小批次转换，其中λ∈[0,1]表示均匀采样transition的分数，这是引入的唯一超参数。
• 在均匀采样的批处理下，分别对critic和actor网络进行优化。critic根据PAL函数进行更新，之后更新优先级。
• 然后，分别通过优先级采样和逆优先级采样对critic和actor网络采样(1−λ)·N个transitions。
• 然后，通过Huber损失(κ = 1)优化critic，并使用策略梯度技术优化actor。
• 最后，再次更新优先级。

总的来说，actor和critic网络在每个更新步骤中通过N次转换进行优化，就像标准的非策略actor-critic算法一样。

异议：LA3P引入了额外的tree，增加了计算复杂度
解决：最新推出的CPU支持单指令多数据结构（SIMD）可以克服该缺点