前言：
高中对集合已经有过学习，像基本概念，一些基础的运算都有学习过，这部分的内容比较简单，重点要理清楚二元关系中的概念，容易弄混的地方要牢记。
集合的基本概念：
1.集合的基本概念：
集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。集合中的元素是具有某种特定性质的具体的或抽象的对象。
一个班级里的学生，一张课桌上的两个人，一只铅笔盒里的铅笔都可以看作为一个集合2.集合元素的性质：
确定性：
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。一个确定性的集合就是指这个集合中元素的数量和具体的元素都是固定的、确定的。
一个简单的例子可以是一个装有5个红色球和3个蓝色球的袋子。这个集合中有8个元素，这8个元素是确定的：5个红色球和3个蓝色球，而且它们的数量和颜色也是确定的。
另外，集合{1,2,3,4,5}也是一个典型的确定性集合，其中元素的数量为5个，由数字1到5组成，也是固定且确定的。
以下是一个集合不确定的例子：
“偶数”和“奇数”的集合。如果我们问你，在集合{1，3，5}中是否存在一个偶数？您不能回答“是”或“否”，
因为该集合并没有包含所有的整数。而是只包含奇数。 因此，在这种情况下，集合“偶数”和“奇数”都没有确定。互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。每个元素都只出现一次，就算出现多个相同的元素，也只有一个这个元素
无序性
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。3.集合与集合之间的关系 ：
集合与集合之间有包含与被包含或者不被包含的关系
以下是一些特殊的集合：
集合的运算：
1.基本的并集，交集运算：
这两个运算高中就学习过，比较简单，交集（找两个集合的相同），并集（两个集合所有元素）。从文氏图来看很直观。
2.集合的补集，差集，对称差：
补集：除集合元素外，给定全集的其他元素。
差集：直观理解就是去掉一个集合中另一个集合包含的元素。
对称差（比较新的概念，在后面恒等式中的证明也比较重要）： 
集合恒等式：
这一部分内容与第一部分学到的等值公式类似，在证明时也用到了之前学习的命题演算法，还有等式置换法和反证法。
有序对与笛卡尔积：
有序对：两元素按一定次序组成的二元组:<x,y>,x第一元素，y第二元素，次序不可改变 
笛卡尔积：来自两集合的元素自由组合成序偶（不满足交换律，结合律）
二元关系：
AxB的任意子集R：A到B的一个（二元）关系；A到B——>前域，后域顺序不可改变
关系的表达：主要介绍关系矩阵与关系图
关系的性质：
自反和反自反：
反自反差不多是自反的否定吧，在判断这两个关系是要注意是所有的元素都要满足，不然的话不成立
对称和反对称
注意：任意不要求所有元素存在(y,x)属于R（有元素满足）
当（x,y）与（y,x）都属于R时，如果x不等于y，那么不满足反对称；
例题：
R1中缺少<3,3>，所以不满足自反性
存在元素<x,x>属于R1,所以不满足反自反
R1存在<1,1>,<2,2>满足对称所以有对称性
传递性
y相当于桥梁把x，z联系起来了
关系性质的三种等价条件：
求关系的闭包：
基本定义：
包含给定的元素 , 并且 具有指定性质 的 最小的 集合 , 称为关系的闭包 ; 这个指定的性质就是关系 R
自反闭包 r ( R ) : 包含 R 关系 , 向 R 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系
对称闭包 s ( R ) : 包含 R 关系 , 向 R 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系
传递闭包 t ( R ) : 包含 R 关系 , 向 R 关系中 , 添加有序对 , 变成传递 的 最小的二元关系
注意：求闭包时，添加的有序对是最少的
利用关系图求解闭包：
求传递闭包有Warshall算法
标签：总结,关系,闭包,包含,第二,元素,二元关系,离散数学,集合 From： https://www.cnblogs.com/nchu19A/p/17380177.html