基础知识

空间几何体

多面体

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面\(PAB\)；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱\(PA\)，棱\(AB\)；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点\(P\)，顶点\(A\).以前学过的长方体、正方体是多面体.

 

旋转体

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.以前学过的圆锥、圆柱是旋转体.
 

空间几何体的结构特征

棱柱

(1) 概念
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
(2) 性质
① 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形.
(3) 分类
① 按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等.
② 按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱(底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体)
 

棱锥

(1) 概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.
(2) 性质
① 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的② 距离与顶点到底面的距离之比；
③ 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
④ 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形.)
(3) 常见棱锥
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 　
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥.
(4) 侧面展开图
正\(n\)棱锥的侧面展开图是有\(n\)个全等的等腰三角形组成的.
 

棱台

(1) 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
(2) 棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台…….
(3) 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形.
 

基本方法

【题型1】 棱柱、棱锥、棱台的概念

【典题1】有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；
②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫 做棱台；
④棱 柱的各相邻侧面的公共边互相平行．
以上命题中，正确命题的序号是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 由图甲知，命题①错误；如图乙，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，命题②错误；由棱台的定义知，命题③错误；由棱柱的特点知，命题④正确．

 

【典题2】给出下列三个命题
①有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；
②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；
③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
其中真命题的个数是 (　　)
 A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0\)
解析 四个侧面互相垂直的棱柱并不能保证侧棱一定垂直于底面，故①错误；
当底面是菱形时，各侧面也可以是正方形，故②错误；
当锐角为\(60°\)的菱形沿短的对角线折成本棱锥时，有可能不是正三棱锥，
举个特殊的三棱锥 底面是正三角形，一个为等腰三角形的侧面与底面垂直，
这时三侧面中，有一个是正三角形，两个是等腰三角形，故③错误．
故选 \(D\)．
 

【巩固练习】

1.在棱柱中，(　　)
 A．只有两个面平行 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．所有的棱都相等
 C．所有的面都是平行四边形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．两底面平行，且各侧棱也平行
 

2.棱台不具有的性质是(　　)
 A．两底面相似　　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．侧面都是梯形
 C．侧棱都平行 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．侧棱延长后都交于一点
 

3.下列命题正确的是(　　)
 A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
 D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
 

4.下列说法中正确的是(　　)
 A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
 B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
 C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
 D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
 

5.下列说法中，正确的个数为(　　)
(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
(2)有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
(3)底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
(4)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．
 A．\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)个
 

参考答案

1. 答案\(D\)
2. 答案\(C\)
3. 答案\(C\)
   解析对于\(A\)，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，\(A\)错误；
   对于\(B\)，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，\(B\)错误；
   对于\(C\)，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，\(C\)正确；
   对于\(D\)，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，\(D\)错误．
   故选：\(C\)．
4. 答案 \(D\)
   解析对于\(A\)，棱柱的侧面也可以互相平行，即\(A\)错误；
   对于\(B\)，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，它的侧面是互相平行的平行四边形，可以作为底面，即\(B\)错误；
   对于\(C\)，正四棱柱是棱柱，且正四棱柱的底面是平行四边形，即\(C\)错误；
   对于\(D\)，棱柱的上下底面一定是平行的，故至少有两个面互相平行，即\(D\)正确．
   故选：\(D\)．
5. 答案 \(A\)
   解析(1)中，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱，故(1)不正确；
   (2)中，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故(2)不正确；
   (3)中，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故(3)不正确；
   (4)中，因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故(4)不正确．
   故选：\(A\)．
    

【题型2】 简单几何体的表面展开与折叠问题

【典题1】(1) 请画出如图所示的几何体的表面展开图．

(2) 将各平面图形折起后形成的空间图形如图所示：

解析(1) 展开图如图所示：

(2) 根据下图所给的平面图形，画出立体图形．

 

【典题2】如图一个封闭的立方体，它\(6\)个表面各标出\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)这\(6\)个数字，现放成下面\(3\)个不同的位置，则数字\(1\)、\(2\)、\(3\)对面的数字是 (　　)

 A．\(4\)、\(5\)、\(6\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(6\)、\(4\)、\(5\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(5\)、\(6\)、\(4\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(5\)、\(4\)、\(6\)
解析 第一个正方体已知\(1\)、\(2\)、\(3\)第二个正方体已知\(1\)、\(3\)、\(4\)
第三个正方体已知\(2\)、\(3\)，\(5\)且不同的面上写的数字各不相同，
则可知\(1\)对面标的是\(5\)，\(2\)对面标的是\(4\)，\(3\)对面标的是\(6\)
故选\(D\)．
 

【典题3】如图，已知三棱柱\(ABC-A'B'C'\)，底面是边长为\(1\)的正三角形，侧面为全等的矩形且高为\(3\)，求自一点\(A\)出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达\(A'\)点的最短路线长．

解析 将正三棱柱\(ABC-A'B'C'\)沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，

依题意\(AB=BC=AA_1=1\)，\(∴AA_1=3\)，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点\(A'\)的最短路线为：
\(\left|A A_1^{\prime}\right|=\sqrt{A A_1^2+A A_1^{\prime}}=\sqrt{3^2+3^2}=3 \sqrt{2}\)．
 

【巩固练习】

1.下图中能围成正方体的是\(\underline{\quad \quad}\)．(填序号)

 

2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是\(\underline{\quad \quad}\)．

 

3.如图所示，在所有棱长均为\(1\)的三棱柱上，有一只蚂蚁从点\(A\)出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点\(A_1\)，则爬行的最短路线长为\(\underline{\quad \quad}\)．

 

参考答案

1. 答案 ①②③

2. 答案 有
   解析 这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．
   

3. 答案 \(\sqrt{10}\)
   解析正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
   矩形的长为\(3\)，宽为\(1\)，则其对角线\(AA_1\) 的长为最短路程．
   因此蚂蚁爬行的最短路程为：\(\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)．
   
    

分层练习

【A组---基础题】

1.下列几何体中，棱柱有(　　)

 A．\(5\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4\)个\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\)个
 

2.下列说法正确的是(　　)
 A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点
 B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点
 C．六棱锥有七个顶点
 D．棱柱的各条侧棱可以不相等
 

3.下列命题中正确的是(　　)
 A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
 C．长方体是正四棱柱
 D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
 

4.下面的多面体是棱台的是(　　)
 A．两底面是相似多边形的多面体
 B．侧面是梯形的多面体
 C．两底面平行的多面体
 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
 

5.下列命题正确的是(　　)
 A．棱柱的底面一定是平行四边形
 B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
 C．棱锥的底面一定是三角形
 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
 

6.下列说法中正确的个数为(　　)
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
 A．\(4\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(1\)
 

7.在下面四个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是\(\underline{\quad \quad}\)．(把你认为正确的序号都填上)

 

8.在正方形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别为\(AB\)，\(BC\)的中点，现沿\(DE\)，\(DF\)，\(EF\)把\(△ADE\)，\(△CDF\)，\(△BEF\)折起，使\(A\)，\(B\)，\(C\)三点重合，则折成的几何体为\(\underline{\quad \quad}\)．

 

9.如图，在三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(A_1 B_1\)与\(A_1 C_1\)的中点，试判断几何体\(ABC-A_1 EF\)是什么几何体，并指出它的底面与侧面．

 

10.如图，在正三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，\(AB=3\)，\(AA_1=4\)，\(M\)为\(AA_1\)的中点，\(P\)是\(BC\)上一点，且由\(P\)沿棱柱侧面经过棱\(CC_1\)到\(M\)的最短路线长为\(\sqrt{29}\)，设这条最短路线与\(CC_1\)的交点为\(N\)，求：
  (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
  (2)\(PC\)和\(NC\)的长．

 

参考答案

1. 答案 \(D\)
2. 答案\(B\)
3. 答案 \(D\)
   解析对于\(A\)，有一个面是多边形，其余各面是三角形，
   若其余各面没有一个共同的顶点的几何体就不是棱锥，故\(A\)错误；
   对于\(B\)，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，
   若侧棱不相交于一点的多面体不是棱台，故\(B\)错误；
   对于\(C\)，长方体中有一组相对的面是正方体时是正四棱柱，故\(C\)错误；
   对于\(D\)，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故\(D\)正确．
   故选：\(D\)．
4. 答案\(D\)
5. 答案 \(D\)
   解析对于\(A\)，棱柱的底面不一定是平行四边形，也可以是三角形或六边形等，所以\(A\)错误；
   对于\(B\)，棱锥被平面分成的两部分也可能都是棱锥，如过棱锥顶点的平面与底面相交把棱锥分成的两部分，所以\(B\)错误；
   对于\(C\)，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形或其他平面图形，所以\(C\)错误；
   对于\(D\)，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，如用平行于底面的平面截棱柱分成的两部分，所以\(D\)正确．
   故选：\(D\)．
6. 答案\(D\)
   解析对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
   对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
   对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
   对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确．
   故选：\(D\)．
7. 答案 ①②
8. 答案三棱锥
9. 答案几何体\(ABC-A_1 EF\)是三棱台．其中\(△ABC\)是下底面，\(△A_1 EF\)是上底面，四边形\(ABEA_1\)，四边形\(BCFE\)，四边形\(ACFA_1\)是侧面．
   解析\(∵E\)，\(F\)分别是\(A_1 B_1\)与\(A_1 C_1\)的，且\(A_1 B_1=AB\)，\(A_1 C_1=AC\)，\(B_1 C_1=BC\)，
   \(\therefore \dfrac{A_1 E}{A B}=\dfrac{A_1 F}{A C}=\dfrac{E F}{B C}=\dfrac{1}{2}\)．
   \(\therefore \triangle A_1 E F \sim \triangle A B C\)且\(AA_1\)，\(BE\)，\(CF\)延长后交于一点．
   又平面\(A_1 B_1 C_1\)平行于平面\(ABC\)，
   \(∴\)几何体\(ABC-A_1 EF\)是三棱台．
   其中\(△ABC\)是下底面，\(△A_1 EF\)是上底面，四边形\(ABEA_1\)，四边形\(BCFE\)，四边形\(ACFA_1\)是侧面．
10. 答案 (1)\(\sqrt{97}\)； (2) \(PC=2\)， \(N C=\dfrac{4}{5}\)
    解析 (1)正三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)的侧面展开图是一个长为\(9\)，宽为\(4\)的矩形，其对角线长 \(\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}\)；
    (2)如图，将侧面\(BB_1 C_1 C\)绕棱\(CC_1\)旋转\(120°\)使其与侧面\(AA_1 C_1C\) 在同一平面上，点\(P\)运动到点\(P_1\)的位置，
    连接\(MP_1\)，则\(MP_1\)就是由点\(P\)沿棱柱侧面经过棱\(CC_1\)到点\(M\)的最短路线，
    
    设\(PC=x\)，则\(P_1 C=x\)，在\(Rt△MAP_1\)中，由勾股定理得 \((3+x)^2+2^2=29\)，
    求得\(x=2\)，\(∴PC=P_1 C=2\)，
    \(\because \dfrac{\mathrm{NC}}{\mathrm{MA}}=\dfrac{\mathrm{P}_1 \mathrm{C}}{\mathrm{P}_1 \mathrm{~A}}=\dfrac{2}{5}\)， \(\therefore N C=\dfrac{4}{5}\)．
     

【B组---提高题】

1.给出下列命题
①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；
④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确的命题是 (　　)
 A．①②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．②③④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．④
 

2.如图所示，在正三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，\(AB=2\)，\(AA_1=2\)，由顶点\(B\)沿棱柱侧面(经过棱\(AA_1\))到达顶点\(C_1\)，与\(AA_1\)的交点记为\(M\).求:

  (1)三棱柱侧面展开图的对角线长;
  (2)从\(B\)经\(M\)到\(C_1\)的最短路线长及此时\(\dfrac{A_1 M}{A M}\)的值.

 

参考答案

1. 答案 \(D\)
   解析对于①，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
   如图所示，
   若\(AB=BC=AC=VA\)，且\(VA⊥\)平面\(ABC\)，但三棱锥\(V-ABC\)表示正三棱锥，
   \(∴\)①错误；
   对于②，当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，
   如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，\(∴\)②错误；
   对于③，一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，
   \(∴\)③错误；
   对于④，一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如①中图形，\(∴\)④正确；
   对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，
   \(∵\)各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑤错误．
   综上，正确的命题是④．
   故选 \(D\)．
   

2. 答案 (1) \(2 \sqrt{10}\) (2) \(2 \sqrt{5}\)，\(1\)
   解析沿侧棱\(BB_1\)将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形\(BB_1 B_1'B'\).
   (1)矩形\(BB_1 B_1'B'\)的长\(BB'=6\)，宽\(BB_1=2\).
   所以三棱柱侧面展开图的对角线长为 \(\sqrt{6^2+2^2}=2 \sqrt{10}\).
   (2)由侧面展开图可知:当\(B\)，\(M\)，\(C_1\)三点共线时，由\(B\)经\(M\)到\(C_1\)点的路线最短.
   所以最短路线长为 \(B C_1=\sqrt{4^2+2^2}=2 \sqrt{5}\).
   显然 \(\text { Rt } \triangle A B M \cong R t \triangle A_1 C_1 M\)，
   所以\(A_1 M=AM\)，即 \(\dfrac{A_1 M}{A M}=1\).