SPOJ COT3 Combat on a tree

简要题意

给定一棵有根树，初始有黑点白点。两人交替操作，每次选择一个白点，将这个点到根路径上所有点染黑，选不了则输。求先手能否必胜；如果能，给出第一步可能的所有走法。

数据范围：\(1\le n\le 10^5\)。

题解

小清新题。难度不配黑题。

进行一次操作以后，这个点到根路径上所有点两侧的子树全部都变得彼此独立，只需要将 \(\mathrm{SG}\) 值异或起来即可。考虑求出所有子树的 \(\mathrm{SG}\) 值，则判定胜负和输出第一步都很容易。一个朴素的 \(n^2\) 做法是对于每个子树，枚举第一步的选择。但是这样不好优化。考虑利用子树内已经求出的信息。易得新的后续状态的 \(\mathrm{SG}\) 函数集合，是每个儿子的集合内元素异或上其他儿子的 \(\mathrm{SG}\) 值，求并，再加入所有儿子的 \(\mathrm{SG}\) 值得到。需要一种数据结构，支持全局异或，加入一个数，快速合并去重，快速求 \(\operatorname{mex}\)。01-Trie 即可。