P2822 [NOIP2016 提高组] 组合数问题

题解

作者 岛田小雅

这是一道复杂度非常容易爆炸的问题。

我看到这题的第一眼，第一反应是直接按照公式暴力跑。我们看一眼数据范围。如果直接算，复杂度是 \(O(t(nm)^2)+X>2\times{10^{10}}\)。肯定不能用公式。

既然数据那么大，我们应该想到预处理一些数据，让每个测试点都能用，从而避免一些重复的运算。那其实很容易就能想到可以把所有的组合数都算出来然后存起来。但是 \(n\) 的最大值是 \(2000\)，如果直接存的话肯定存不了那么大的数。怎么办呢？其实我们可以对它进行取模，储存取模的结果。学过乘法逆元的小伙伴（比如我）这个时候眼睛一亮：哎我们是不是还要算这玩意对 \(k\) 的逆元？

大可不必，直接让它对 \(k\) 取模就行了。这样一来能被 \(k\) 整除的组合数存储结果是 \(0\)，不能被整除的，结果不是 \(0\)，方便我们进行计数（还有个原因是我已经把怎么算乘法逆元忘干净了）。

存储的问题解决了，那么预处理的时候我们需要用题目给的公式计算吗？要知道计算阶乘是一个很庞大的工程，虽然我不知道它的具体复杂度是多少，但肯定会严重拖慢程序的速度。怎么办呢？学过高中数学的小伙伴一定知道，把组合数叠在一起可以叠出一个杨辉三角。也就是说我们用加法就可以计算出所有的组合数。

看到这里，我们已经能把大部分预处理写完了。然而还有一处需要优化，就是对答案的计数。我们需要数的是杨辉三角内一个四边形（当 \(m\leqslant{i}\) 时是个三角形）里面 \(0\) 的个数。比起每次一个一个计算，用前缀和进行预处理显然快速很多。

具体细节详见 AC 代码部分。

AC 代码

作者 岛田小雅

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e3+2;
int k, t;
int C[N][N], qzh[N][N];

void generate_C(int n, int m)
{
    if(!m || m==n) C[n][m] = 1;
    else C[n][m] = (C[n-1][m-1]+C[n-1][m])%k;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin >> t >> k;
    for(int n = 1; n <= 2000; n++)
    {
        for(int m = 0; m <= n; m++)
        {
            generate_C(n,m);
            if(!m) qzh[n][m] = !C[n][m];
            else qzh[n][m] = qzh[n][m-1]+!C[n][m];
        }
    }
    while(t--)
    {
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) ans += qzh[i][min(i,m)];
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}