题目
题目描述
我的就是我的，你也是我的，记住了，狐狸！
——韩信-白龙吟
对于打赌输了的小T会遭受到制裁，小s修改了数据库使他可以派出许多军队来围攻小T.
很不幸，小T与小s打赌打输了，现在小T遭受着枪林弹雨与十面埋伏，因为小T是神所以他决定要扭转局势。
他要修改数据库！
数据总库的信号墙有n个电极插头，每个插头有一个信号 \(a_i\) ,
小T可以使在区间 \([\ l,r\ ]\) 内的所有信号加上一个值k。
对于区间 \([\ l,r\ ]\) 的信号强度有一个计算公式：
我们定义： \(f(k)=a_k \times \sum_{j=k+1}^r a_j\) 。
则信号强度就为： \(\sum_{i=l}^r f(i)\) 。
你可以认为f(i)就是第i个插头的信号强度。
现在小T一会儿修改信号值，一会儿询问信号强度，你是数据库的管理员，为了不被小TD，所以你要告诉他信号强度是多少。
注:本系列题不按难度排序哦
输入描述
第一行两个整数n,Q
第二行n个整数代表a
后Q行代表操作：
一操作： \(1\ l\ r\ x\) 代表区间 \([\ l,r\ ]\) 加x。
二操作： \(2\ l\ r\) 代表区间询问。
输出描述
每一行一个数字，表示对于一个二操作的答案。
示例1
输入
5 2
1 2 3 4 5
1 1 2 1
2 1 2
输出
6
说明
样例解释:1 1 2 1使a[1]~a[2]的值每个都加了1， 即a[1]=2, a[2]=3,所以2 1 2=a[1] *a[2]=2 * 3=6
保证所有二操作的答案都是在long long范围内（如果你不相信，可以写高精）。
时空限制为标程的5倍，放心卡常。
备注
\(100 \% \ \ 1 \le n,Q \le 10^5\)
对于所有 \(a_i \le 100\)
题解
知识点：线段树，数学。
注意到
\[\begin{aligned} \left( \sum_{i = l}^r a_i \right)^2 &= \sum_{i = l}^r a_i^2 + 2\sum_{i = 1}^r \sum_{j = i+1}^r a_ia_j \end{aligned} \]因此
\[\begin{aligned} \sum_{i=l}^r f(i) = \sum_{i = 1}^r \sum_{j = i+1}^r a_ia_j &= \dfrac{1}{2} \left( \left( \sum_{i = l}^r a_i \right)^2 - \sum_{i = l}^r a_i^2 \right) \end{aligned} \]所以用线段树维护区间和、区间平方和即可。
时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
struct T {
ll len;
ll sum;
ll sum2;
static T e() { return { 0, 0, 0 }; }
friend T operator+(const T &a, const T &b) {
return {
a.len + b.len,
a.sum + b.sum,
a.sum2 + b.sum2
};
}
};
struct F {
ll add;
static F e() { return { 0 }; }
T operator()(const T &x) {
return {
x.len,
x.sum + x.len * add,
x.sum2 + 2 * x.sum * add + x.len * add * add
};
}
F operator()(const F &g) { return { g.add + add }; }
};
template<class T, class F>
class SegmentTreeLazy {
int n;
vector<T> node;
vector<F> lazy;
void push_down(int rt) {
node[rt << 1] = lazy[rt](node[rt << 1]);
lazy[rt << 1] = lazy[rt](lazy[rt << 1]);
node[rt << 1 | 1] = lazy[rt](node[rt << 1 | 1]);
lazy[rt << 1 | 1] = lazy[rt](lazy[rt << 1 | 1]);
lazy[rt] = F::e();
}
void update(int rt, int l, int r, int x, int y, F f) {
if (r < x || y < l) return;
if (x <= l && r <= y) return node[rt] = f(node[rt]), lazy[rt] = f(lazy[rt]), void();
push_down(rt);
int mid = l + r >> 1;
update(rt << 1, l, mid, x, y, f);
update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, f);
node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
}
T query(int rt, int l, int r, int x, int y) {
if (r < x || y < l) return T::e();
if (x <= l && r <= y) return node[rt];
push_down(rt);
int mid = l + r >> 1;
return query(rt << 1, l, mid, x, y) + query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
}
public:
SegmentTreeLazy(int _n = 0) { init(_n); }
SegmentTreeLazy(const vector<T> &src) { init(src); }
void init(int _n) {
n = _n;
node.assign(n << 2, T::e());
lazy.assign(n << 2, F::e());
}
void init(const vector<T> &src) {
assert(src.size());
init(src.size() - 1);
function<void(int, int, int)> build = [&](int rt, int l, int r) {
if (l == r) return node[rt] = src[l], void();
int mid = l + r >> 1;
build(rt << 1, l, mid);
build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
node[rt] = node[rt << 1] + node[rt << 1 | 1];
};
build(1, 1, n);
}
void update(int x, int y, F f) { update(1, 1, n, x, y, f); }
T query(int x, int y) { return query(1, 1, n, x, y); }
};
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n, q;
cin >> n >> q;
vector<T> a(n + 1);
for (int i = 1;i <= n;i++) {
int x;
cin >> x;
a[i] = { 1,x,x * x };
}
SegmentTreeLazy<T, F> sgt(a);
while (q--) {
int op, l, r;
cin >> op >> l >> r;
if (op == 1) {
int x;
cin >> x;
sgt.update(l, r, { x });
}
else {
auto [len, sum, sum2] = sgt.query(l, r);
cout << (sum * sum - sum2) / 2 << '\n';
}
}
return 0;
}