标签：概率 分析方法 最小 发生 故障 割集 事件

故障树分析方法

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• 干货 | 故障树分析方法（FTA）详解

故障树分析是什么

• 故障树是一种逻辑图。
• 故障树用来进行可靠性分析和故障诊断。
• 故障树是一种从结果（就是发生什么故障）到原因（发生故障的原因）的演绎分析方法。
• 故障树用来表明产品的哪些组成部分的故障或外界事件或它们的组合将导致产品发生一种给定故障。

为什么要进行故障树分析

• 帮助判明可能发生的故障模式和原因；
• 发现可靠性和安全性薄弱环节，采取改进措施，以提高产品可靠性和安全性；
• 计算故障发生概率；
• 发生重大故障或事故后，FTA是故障调查的一种有效手段，可以系统而全面地分析事故原因，为故障“归零”提供支持；
• 指导故障诊断、改进使用和维修方案等。

故障树分析流程

故障树组成

• 故障树由事件和逻辑门构成。
  • 事件：用来描述系统和元部件故障的状态。
  • 逻辑门：把事件联系起来，表示事件之间的逻辑关系。
• 顶事件：顶事件就是上面说的结果，是设备不希望出现的故障状态。
• 中间事件：从顶事件出发，直接导致顶事件的因素，就是一级中间事件。
• 底事件：循此途径往下查，经过各项中间事件，直到不能或者不需要继续往下深究故障事件为止，最底层的故障事件即为顶事件的基本事件。

故障树例子

故障树使用的符号

• 事件符号

• 逻辑符号

• 转移符号

建树步骤

1. 选择顶事件

• 顶事件是针对研究对象的系统级故障事件，筛选出的最危险的事件。
• 顶事件不唯一。
• 满足：
  • 机械的关键问题，发生与否必须有明确的定义；
  • 能进一步分解的，能找到次级事件；
  • 必须能度量；

2. 确定边界条件

• 在建树之前必须对设备和零部件的初始状态作某些规定，对分析范围作适当限制。
• 边界条件应包括：
  • 初始状态。当系统中的部件有数种工作状态时，应指明与顶事件发生有关部件的工作状态；
  • 不容许事件。建立故障树的过程中认为不容许发生的事件；
  • 必然事件。在一定条件下必然发生的事件和必然
    不发生的事件。

确定边界条件的例子：

3. 分析顶事件发生的原因

• 人工建树时采用的方法是演绎法。
• 技术人员、设计人员和操作人员密切合作。
  • 系统在设计、制造和运行中的问题；
  • 外部环境对系统故障的影响；
  • 人为失误。

4. 逐层展开建立故障

• 从顶事件开始，逐渐向下演绎分解展开，直至底事件，建立逻辑关系，并用图形符号，形成倒树图形。
• 不允许门-门直接相连。
• 小概率事件当做不容许事件；

5. 故障树简化

• 在分析系统故障时，最初建立的故障树往往并不是最简的，去掉多余的逻辑事件，可以对它进行简化。
• 最经常采用的简化方法是借助逻辑代数的逻辑法则进行简化。

6. 故障树定性分析

• 寻找顶事件的原因事件及原因事件的组合（最小割集）
• 发现潜在的故障
• 发现设计的薄弱环节，以便改进设计
• 指导故障诊断，改进使用和维修方案

7. 故障树定量分析

• 得到系统故障发生的概率；
• 最不可靠割集；
• 结构的重要度；
• 判别系统的可靠性、安全性及最薄弱环节。

故障树的数学描述

\[x_i = \begin{cases} 1 & 底事件 x_i 发生（即元部件故障） \\ 0 & 底事件 x_i 不发生（即元部件正常） \end{cases} \]

\[\Phi = \begin{cases} 1 & 顶事件发生（即系统故障） \\ 0 & 顶事件不发生（即系统正常） \end{cases} \]

故障树结构函数（表示系统状态布尔函数）：

\[\Phi = \Phi (\vec{X}) \\ \vec{X} = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \]

一个例子：

故障树简化

特殊门的简化

• 顺序门变换为与门

• 禁门变换为与门

• 表决门变换为或门和与门的组合：

  • 顶事件-或门-中间事件-与门-底事件

  • 顶事件-与门-中间事件-或门-底事件

• 异或门变换为或门、与门和非门的组合

用转移符号简化

• 用相同转移符号表示相同子树

• 用相似转移符号表示相似子树

按布尔代数的运算法则简化

• 按结合律简化

• 按分配律简化

• 按吸收律简化

• 按幂等律简化

• 按互补律简化

故障树定性分析

割集与陆集

• 割集：故障树中一些底事件的集合，当这些底事件同时发生时，顶事件必然发生；
• 最小割集：若将割集中所含的底事件任意去掉一个就不再成为割集了，这样的割集就是最小割集。
• 最小割集的意义：
  • 最小割集对降低复杂系统潜在事故风险具有重大意义
    • 如果能使每个最小割集中至少有一个底事件恒不发生(发生概率极低)，则顶事件就恒不发生，系统潜在事故的发生概率降至最低
  • 消除可靠性关键系统中的一阶最小割集，可消除单点故障
    • 可靠性关键系统不允许有单点故障，方法之一就是设计时进行故障树分析，找出一阶最小割集，在其所在的层次或更高的层次增加“与门”，并使“与门”尽可能接近顶事件。
  • 最小割集可以指导系统的故障诊断和维修
    • 如果系统某一故障模式发生了，则一定是该系统中与其对应的某一个最小割集中的全部底事件全部发生了。
    • 进行维修时，如果只修复某个故障部件，虽然能够使系统恢复功能，但其可靠性水平还远未恢复。
    • 根据最小割集的概念，只有修复同一最小割集中的其它部件故障，才能恢复系统可靠性、安全性设计水平。
• 最小割集比较
  • 根据最小割集含底事件数目(阶数)排序，在各个底事件发生概率比较小，且相互差别不大的条件下，可按以下原则对最小割集进行比较：
    • 阶数越小的最小割集越重要
    • 在低阶最小割集中出现的底事件比高阶最小割集中的底事件重要
    • 在最小割集阶数相同的条件下，在不同最小割集中重复出现的次数越多的底事件越重要
• 路集：故障树中一些底事件的集合，当这些底事件同时不发生时，顶事件必然不发生；
• 最小路集：能够引起顶上事件不发生的最低限度的基本事件的集合。
• 最小路集的求法。
  • 先求出与故障树对偶的成功树的最小割集；
  • 通过成功树的最小割集求得故障树的最小路集；

最小割集算法

结构函数法

对于简单的故障树，只需将故障树的结构函数展开，使之成为具有最少项数的积之和的表达式，每一项乘积就是一个最小割集。

例子：

塞迈特里斯算法（上行法）

基本原理：对给定的故障树从最下一级中间事件开始，如中间事件是以逻辑与门与底事件相联，可用与门结构函数式；如中间事件是逻辑或门与底事件相联，则用或门结构函数；依次往上，直至顶事件，运算终结。在所得计算结果中，再应用布尔代数加以简化。

例子：

下行法

富塞尔(Fussell)根据范斯莱(Vesely)编制的计算机程序MOCUS(获得割集的方法)于1972年提出的一种手工算法。

它根据故障树中的逻辑或门会增加割集的数目，逻辑与门会增大割集容量的性质。从故障树的顶事件开始，由上到下，顺次把上一级事件置换为下一级事件，遇到与门将输入事件横向并列写出，遇到或门则将输入事件竖向串列写出，直至把全部逻辑门都置换为底事件为止，由此可得该故障树的全部割集。

最小路集算法

故障树定量分析

进行定量分析的主要目的是求顶事件发生的特征量（如重要度、故障率、可靠度等）和底事件的重要度。

假设：独立性（底事件之间相互独立）；两态性（元、部件和系统只有正常和故障两种状态）；指数分布（元、部件和系统寿命）。

顶事件发生概率的求取

计算顶事件发生概率时，必须已知各底事件发生的概率，并且需将故障树简化，用最小割集来表达，然后才能进行计算。

顶事件发生的概率是底事件发生概率的函数。

\[P(T) = Q = Q(q_1,q_2,\cdots,q_n) \]

所有最小割集：\(S_1\)、\(S_2\)、\(\cdots\)、\(S_n\)，并且已知组成系统的各机械零件的基本故障事件 \(x_1\)、\(x_2\)、\(\cdots\)、\(x_n\) 发生的概率 \(q_1\)、\(q_2\)、\(\cdots\)、\(q_n\)，则顶事件 \(T\) 发生的概率：

\[P(S_1 + S_2 + \cdots + S_n) = 1 - [1 - P(S_1)] [1 - P(S_2)] [1 - P(S_n)] \]

当底事件发生的概率 \(q_i\) 在0.1数量级时，顶事件T发生的概率可近似为：

\[P(T) = \sum_{1}^n P(S_i) - \sum_{1 \le i \le j \le n} P(S_i S_j) \]

当底事件发生的概率 \(q_i\) 在0.01数量级时，顶事件T发生的概率可近似为：

\[P(T) = \sum_{i=1}^n P(S_i) \]

例子：

最不可靠割集

• 最不可靠割集：发生概率最大的最小割集。
• 最不可靠割集反映了系统最薄弱的环节。

上述实例最不可靠集为S1。

\[P(S_1) = P(x_1 x_3) = q_1 q_3 = 1 \times 10^{-6} \]

重要度分析

• 定义：底事件或最小割集对顶事件发生的贡献
• 目的：确定薄弱环节和改进设计方案
• 重要度分类：
  • 概率重要度
  • 结构重要度
  • 相对概率重要度
  • 相关割集重要度

结构重要度

不考虑基本事件自身的发生概率，或假定各基本事件发生概率相等，仅从结构上分析各个基本事件的发生对顶事件发生所产生的影响程度。一般用 \(I\phi (i)\) 表示。

基本事件的结构重要度越大，它对顶上事件的影响程度就越大，反之亦然。结构重要度可用结构重要度系数和割集重要度系数表示。

基本事件的相对重要度：

若在事故树中有n个基本事件，每个基本事件有“0”和“1”两种状态，则可能出现2种状态组合，其中基本事件为“1”的状态组合仅为 \(2^{n-1}\) 种。

若令 \(\sum \phi (1_i,x)\) 表示基本事件 \(x_i\) 为“1”时，顶上事件为“1”的次数；\(\sum \phi (0_i,x)\) 表示基本事件 \(x_i\) 为“0”时，顶上事件为“1”的次数。则基本事件 \(x_i\) 的相对重要度为：

\[I_i = [\varphi(1_i,x) - \varphi(0_i,x)] / 2^{n-1} \]

上述相对重要度也成为结构重要度系数。

利用最小割集确定结构重要度：

最小割集中基本事件的重要度通常遵循相关原则：①当各最小割集的容量相等时，在各最小割集中重复出现次数越多的基本事件，其结构重要度也越大；②当各最小割集的容量不等时，最小割集的容量月掉，其中基本事件的重要度越大；③在各最小容量最小割集中出现次数少的基本事件，与在各大容量最小割集中出现次数多的基本事件相比较，其结构重要度一般是前者大于后者。

若给各个最小割集中的基本事件都赋予1，依据上述原则即可拟定出下述近似判定式：

\[I_\phi(i) = \sum_{x_i\in K_i} \frac{1}{2^{n_i-1}} \]

式中，\(I_\phi(i)\) 为基本事件 \(x_i\) 的结构重要度；\(n_i\)为基本事件 \(x_i\) 所在最小割集包含的基本事件数。

概率重要度

概率重要度分析是依靠各基本事件的概率重要度系数大小进行定量分析。由于顶事件发生概率函数是 \(n\) 个基本事件发生概率的多重线性函数，所以，对自变量 \(q_i\) 求一次偏导，即可得到该基本事件的概率重要度系数 \(I_g(i)\) 为：

\[I_g(i) = \frac{\partial P(T)}{\partial q_i} \quad (i=1,2,\cdots,n) \]

式中，\(P(T)\) 为顶事件发生概率；\(q_i\) 为第 \(i\) 个基本事件发生概率。

概率重要度有一个重要性质：若所有基本事件发生概率都等于1/2，则基本事件概率重要度系数等于其结构重要度系数。

关键重要度

底事件 \(x_i\) 发生概率的变化率的改变引起事件发生概率变化率的改变程度定义为该底事件的关键重要度，记作 \(I_c(i)\)，其数学表达式为

\[I_c(i) = \frac{\partial \ln (P)}{\partial \ln P_i} = \frac{\partial g(P)}{g(P)} \frac{P_i}{\partial P_i} \]

即关键性重要度是顶事件发生概率与某事件发生概率变化率之比，式中 \(g(P)\) 为顶事件发生的概率。

关键性重要度 \(I_c(i)\) 与概率重要度的关系为 \(I_c(i) = \frac{P_i}{g(P)} I_g(i)\)。

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