Swap Game
Alice 和 Bob 两个人在玩游戏。
有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，Alice 和 Bob 两人轮流完成一个操作，Alice 先开始。
每个人可以将数列的第一个数减 \(1\)，并将它与后面序列的一个数进行交换，如果一个人操作之前发现当前序列中的第一个数为 \(0\)，这个人就输了。
问如果两人都足够聪明，最后谁会赢？
题解：
我们发现必败态是\(a_1=0\)，我们考虑由于两个人都会选择最优的策略，也就是说每个人一定会挑\([2,n]\)中最小的数和\(a_1\)交换，因为这样能使得对方快速遇到\(a_1=0\),所以说必败态为\(a_1\)是最小值；
- 如果一开始\(a_1\)本身就是最小值，也就是说Alice开局就是必败态，那么他无论如何都走不到一个必败态，也就是说Bob始终能留给Alice必败态的局面，所以Alice必败
- 如果一开始\(a_1\)不是最小值，那么Alice每次都能抛给bob必败态，所以Alice必胜
#include <bits/stdc++.h>
#define Zeoy std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0)
#define debug(x) cerr << #x << '=' << x << endl
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rson id << 1 | 1
#define lson id << 1
#define int long long
#define mpk make_pair
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const int N = 2e5 + 10, M = 4e5 + 10;
int n;
void solve()
{
cin >> n;
int res = 0;
int a;
cin >> a;
bool flag = false;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
int x;
cin >> x;
if (x < a)
{
flag = true;
}
}
if (flag)
cout << "Alice" << endl;
else
cout << "Bob" << endl;
}
signed main(void)
{
Zeoy;
int T = 1;
cin >> T;
while (T--)
{
solve();
}
return 0;
}
Yet Another Problem
给定长度为\(n\)序列\(a\)，存在\(q\)次询问，每次询问给定区间\([l,r]\)，现在支持这样的操作：选定一段奇数长度的区间\(l\leq L\leq R\leq r\),可以使得这段区间的所有元素变成\(a_L\bigoplus a_{L+1}...\bigoplus a_R\),对于每次询问回答至少需要多少次操作才能使得区间\([l,r]\)中的所有元素都变成0，如果无法成功输出\(-1\)
\(1\leq a_i \leq 2^{30}\)
题解：二进制 + 思维 + 二分 + 离散化
我们发现如果区间\([l,r]\)的异或和不为0，一定不可能成功，因为每次选定的是奇数长度的区间
如果区间\([l,r]\)异或和为0，那么存在以下几种情况：
- 如果区间\([l,r]\)中所有元素本来全部为0，最小操作次数为0；
- 如果区间\([l,r]\)的长度为奇数，最小操作次数为1；
- 如果区间\([l,r]\)的长度为偶数：
- 如果\(a[l]=0\) 或者 \(a[r] = 0\)，最少操作次数为1；
- 如果该区间存在奇数长度的区间\([l,i]\)异或和为0，那么最小操作次数为2；
- 不满足上面情况的都无法成功
再来讲一下如何快速得知是否存在奇数长度的区间\([l,i]\)异或和为0，我们可以邻接表维护每一个前缀异或和的奇数位置和偶数位置，如果\(l\)为奇数我们就在相同前缀异或和中找到大于\(l\)的第一个奇数位置，如果\(l\)是偶数位置同理；但是我们发现\(a_i\)太大了，所以我们需要利用哈希表离散化（映射）
#include <bits/stdc++.h>
#define Zeoy std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0)
#define debug(x) cerr << #x << '=' << x << endl
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rson id << 1 | 1
#define lson id << 1
#define int long long
#define mpk make_pair
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const int N = 1e6 + 10, M = 4e5 + 10;
int n, q;
int a[N];
int pre[N];
int sum[N];
unordered_map<int, vector<int>> mp1, mp2;
void solve()
{
cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
sum[i] = sum[i - 1] + (a[i] == 0);
pre[i] = pre[i - 1] ^ a[i];
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (i % 2 == 1)
mp1[pre[i]].push_back(i);
else
mp2[pre[i]].push_back(i);
}
while (q--)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
if (pre[r] != pre[l - 1])
{
cout << -1 << endl;
continue;
}
if (sum[r] - sum[l - 1] == r - l + 1)
{
cout << 0 << endl;
continue;
}
if ((r - l + 1) % 2 == 1)
{
cout << 1 << endl;
continue;
}
if (a[l] == 0 || a[r] == 0)
{
cout << 1 << endl;
continue;
}
int x = pre[l - 1];
if (l % 2 == 1)
{
int p = lower_bound(all(mp1[x]), l) - mp1[x].begin();
if (p == mp1[x].end() - mp1[x].begin() || mp1[x][p] > r)
{
cout << -1 << endl;
continue;
}
cout << 2 << endl;
}
else
{
int p = lower_bound(all(mp2[x]), l) - mp2[x].begin();
if (p == mp2[x].end() - mp2[x].begin() || mp2[x][p] > r)
{
cout << -1 << endl;
continue;
}
cout << 2 << endl;
}
}
}
signed main(void)
{
Zeoy;
int T = 1;
// cin >> T;
while (T--)
{
solve();
}
return 0;
}